Die Ableitung definieren

Für f(x) = x² beträgt die Sekantensteigung von x = 1 bis x = 1 + h genau 2 + h. Lässt du h gegen null gehen, bleibt nur 2 übrig.

Der Differenzenquotient

Im Kurs über Grenzwerte hast du Tangentensteigungen mithilfe von Sekanten durch einen festen Punkt P = (a, f(a)) und einen beweglichen Punkt Q bestimmt. Dabei näherte sich Q dem Punkt P. Wir nennen den Abstand der beiden x-Werte h, sodass Q = (a + h, f(a + h)) gilt. Die Sekantensteigung ist dann der Differenzenquotient (f(a + h) − f(a))/h. Dieser gewöhnliche Bruch ist für jedes h außer 0 definiert und misst die mittlere Änderungsrate von f zwischen a und a + h.

OpenStax definiert die Ableitung von f an der Stelle a als Grenzwert dieses Quotienten: f′(a) = lim_h→0 (f(a + h) − f(a))/h, sofern der Grenzwert existiert. Man liest „f Strich von a“. Geometrisch ist das die Tangentensteigung bei (a, f(a)); als Rate beschreibt sie die momentane Änderung von f an der Stelle a. Existiert der Grenzwert, ist f dort differenzierbar. Die Tangentengleichung lautet dann y = f(a) + f′(a)(x − a), also die Punkt-Steigungs-Form mit dem Punkt (a, f(a)) und der Steigung f′(a).

Ein Beispiel durchrechnen

Sei f(x) = x² und a = 1. Dann ist f(1 + h) = 1 + 2h + h², also f(1 + h) − f(1) = 2h + h². Nach dem Teilen durch h bleibt 2 + h. Darauf kommt es an: Das störende h im Nenner lässt sich kürzen, und im verbleibenden Ausdruck kannst du h = 0 einsetzen. Somit ist f′(1) = 2. Die Tangente bei (1, 1) lautet y = 1 + 2(x − 1), also y = 2x − 1. Für h = 0.1 ist die Sekantensteigung 2.1, für h = 0.01 ist sie 2.01. Das passt zu deiner selbst berechneten Tabelle aus dem Grenzwertkurs.

Dieselben Schritte funktionieren bei anderen Funktionen. Für f(x) = 1/x an der Stelle a = 1 lautet der Differenzenquotient (1/(1 + h) − 1)/h. Bringe den Zähler auf einen gemeinsamen Nenner: (1 − (1 + h))/(1 + h) = −h/(1 + h). Nach dem Teilen durch h ergibt sich −1/(1 + h), was gegen −1 geht. Die Steigung von 1/x bei x = 1 ist also −1; dort fällt die Kurve. Für eine Gerade f(x) = mx + b ist der Quotient (m(a + h) + b − ma − b)/h = m für jedes h. Daher gilt f′(a) = m: Die Ableitung einer Geraden entspricht erwartungsgemäß ihrer Steigung.

Es gibt mehrere Schreibweisen für Ableitungen. Neben f′(a) veranschaulicht die Leibniz-Schreibweise dy/dx eine kleine Änderung von y im Verhältnis zu einer kleinen Änderung von x. In den Naturwissenschaften begegnet sie dir besonders häufig. Daraus ergeben sich auch die Einheiten. Ist s eine Strecke in Metern und t eine Zeit in Sekunden, hat ds/dt die Einheit Meter pro Sekunde. Eine Ableitung hat immer Ausgabeeinheiten pro Eingabeeinheit. Damit kannst du Ergebnisse gut überprüfen.