Definição de derivada

Para f(x) = x², a inclinação da secante entre x = 1 e x = 1 + h é exatamente 2 + h. Quando h tende a zero, sobra apenas 2.

O quociente de diferenças

No curso de limites, encontramos inclinações de tangentes usando secantes que passam por um ponto fixo P = (a, f(a)) e um ponto móvel Q, fazendo Q se aproximar de P. É conveniente chamar de h a diferença entre as coordenadas x, de modo que Q = (a + h, f(a + h)). A inclinação da secante é o quociente de diferenças (f(a + h) − f(a))/h. Trata-se de uma fração comum, definida para todo h diferente de 0, que mede a taxa média de variação de f entre a e a + h.

O OpenStax define a derivada de f em a como o limite desse quociente: f′(a) = lim_h→0 (f(a + h) − f(a))/h, desde que o limite exista. Lê-se f linha de a. Geometricamente, é a inclinação da reta tangente em (a, f(a)); como taxa, é a taxa instantânea de variação de f em a. Se o limite existe, f é derivável em a. A reta tangente é y = f(a) + f′(a)(x − a), a forma ponto-inclinação com ponto (a, f(a)) e inclinação f′(a).

Um cálculo completo

Considere f(x) = x² e a = 1. Temos f(1 + h) = 1 + 2h + h², então f(1 + h) − f(1) = 2h + h². Dividindo por h, obtemos 2 + h. Essa simplificação resolve o problema: o h do denominador é cancelado, e podemos avaliar o que resta em h = 0. Logo, f′(1) = 2. A reta tangente em (1, 1) é y = 1 + 2(x − 1), ou y = 2x − 1. Com h = 0.1, a inclinação da secante é 2.1; com h = 0.01, é 2.01, de acordo com a tabela que você montou no curso de limites.

Os mesmos passos funcionam para outras funções. Para f(x) = 1/x em a = 1, o quociente de diferenças é (1/(1 + h) − 1)/h. Reduza o numerador ao mesmo denominador: (1 − (1 + h))/(1 + h) = −h/(1 + h). Divida por h para obter −1/(1 + h), que tende a −1. Portanto, a inclinação de 1/x em x = 1 é −1, e a curva é decrescente ali. Para uma reta f(x) = mx + b, o quociente é (m(a + h) + b − ma − b)/h = m para todo h, então f′(a) = m: a derivada de uma reta é sua inclinação, como esperado.

Variação horizontal h e vertical 2h + h², logo a inclinação da secante é 2 + h. A tangente tracejada y = 2x − 1 tem inclinação 2.

Há várias notações para uma derivada. Além de f′(a), a notação de Leibniz dy/dx mantém a ideia de uma pequena variação de y dividida por uma pequena variação de x. É a forma mais comum nas ciências. As unidades seguem essa ideia. Se s é uma distância em metros e t um tempo em segundos, ds/dt é dado em metros por segundo. Uma derivada sempre tem unidades de saída por unidade de entrada, o que ajuda a conferir a resposta.

Carregando

Arraste para girar. Use a rolagem ou afaste e aproxime dois dedos para ajustar o zoom.

Quociente de diferenças de x² em a = 1. Arraste Q ou pressione h → 0; o painel compara a inclinação da secante 2 + h com f′(1) = 2. Mova a para experimentar outros pontos.

f(x) = x², a = 1, h = 0.1. Qual é o quociente de diferenças?
f(x) = x². Quanto vale f′(3)?
f(x) = 3x + 5. Quanto vale f′(a) para qualquer a?
f(x) = x² + x. Quanto vale f′(2)?
A tangente a y = x² em (2, 4) é y = 4x + b. Quanto vale b?
f(x) = 1/x. Quanto vale f′(1)?
f(x) = x³, a = 1, h = 0.1. Qual é o quociente de diferenças?
f′(2) = −3 significa que, perto de x = 2, o gráfico:
- desce 3 unidades para cada unidade à direita
- sobe 3 unidades para cada unidade à direita
- é horizontal
- tem um furo
Posição s em metros, tempo t em segundos. Quais são as unidades de ds/dt?
- metros por segundo
- segundos por metro
- metros
- metros por segundo ao quadrado
Qual expressão representa f′(a)?
- lim_h→0 (f(a + h) − f(a))/h
- (f(a + h) − f(a))/h com h = 1
- f(a)/a
- lim_h→0 f(a + h)

Pontos-chave

Quociente de diferenças (f(a + h) − f(a))/h: inclinação de uma secante, uma taxa média.
f′(a) é seu limite quando h → 0: inclinação da tangente, uma taxa instantânea.
Reta tangente: y = f(a) + f′(a)(x − a).
Unidades de uma derivada: unidades de saída por unidade de entrada.

Fontes deste curso (10)

OpenStax, Calculus Volume 1 : 2.1 A Preview of Calculus (tangent as the limit of secants; rock s(t) = −16t² + 64; stone h(t) = 15t − 4.9t² in the exercises: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
chapter 3 Derivatives: 3.1 Defining the Derivative (difference quotient, f′(a) = lim (f(a + h) − f(a))/h, tangent line: .../pages/3-1-defining-the-derivative)
3.2 The Derivative as a Function (graphing f′, differentiability implies continuity, |x| has a corner at 0, higher derivatives: .../pages/3-2-the-derivative-as-a-function)
3.3 Differentiation Rules (constant, power, sum, difference, constant multiple, product and quotient rules: .../pages/3-3-differentiation-rules)
3.4 Derivatives as Rates of Change (position, velocity, speed, acceleration: .../pages/3-4-derivatives-as-rates-of-change)
3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x using lim (sin h)/h = 1 and lim (cos h − 1)/h = 0: .../pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)
3.6 The Chain Rule (.../pages/3-6-the-chain-rule)
chapter 4: 4.3 Maxima and Minima (critical points, Fermat's theorem, extreme value theorem, closed interval method: .../pages/4-3-maxima-and-minima)
4.5 Derivatives and the Shape of a Graph (first derivative test: .../pages/4-5-derivatives-and-the-shape-of-a-graph)
5.3 for Newton and Leibniz working in the late 1600s and early 1700s (.../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus).

Data de verificação: 2026-10-17