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Definición de la derivada

Para f(x) = x², la pendiente de la secante desde x = 1 hasta x = 1 + h es exactamente 2 + h. Al hacer que h tienda a cero, solo queda 2.

El cociente incremental

En el curso de límites encontraste pendientes de tangentes tomando secantes que pasaban por un punto fijo P = (a, f(a)) y otro móvil Q, y acercando Q a P. Conviene llamar h a la diferencia entre las dos coordenadas x, de modo que Q = (a + h, f(a + h)). La pendiente de la secante es entonces el cociente incremental (f(a + h) − f(a))/h. Es una fracción ordinaria, definida para todo h salvo 0, y mide la tasa de cambio promedio de f entre a y a + h.

OpenStax define la derivada de f en a como el límite de este cociente: f′(a) = lim_h→0 (f(a + h) − f(a))/h, siempre que el límite exista. Se lee f prima de a. Geométricamente es la pendiente de la recta tangente en (a, f(a)); como tasa, es la tasa de cambio instantánea de f en a. Si el límite existe, f es derivable en a. La recta tangente es y = f(a) + f′(a)(x − a), la forma punto-pendiente con punto (a, f(a)) y pendiente f′(a).

Un cálculo completo

Toma f(x) = x² y a = 1. Entonces f(1 + h) = 1 + 2h + h², así que f(1 + h) − f(1) = 2h + h²; al dividir entre h queda 2 + h. Esta simplificación es la clave: la h problemática del denominador se cancela y lo que queda puede evaluarse en h = 0. Por tanto, f′(1) = 2. La tangente en (1, 1) es y = 1 + 2(x − 1), o y = 2x − 1. Con h = 0.1 la pendiente de la secante es 2.1; con h = 0.01 es 2.01, como en la tabla que calculaste a mano en el curso de límites.

Los mismos pasos sirven para otras funciones. Para f(x) = 1/x en a = 1, el cociente incremental es (1/(1 + h) − 1)/h. Lleva el numerador a un denominador común: (1 − (1 + h))/(1 + h) = −h/(1 + h). Divide entre h para obtener −1/(1 + h), que tiende a −1. Así, la pendiente de 1/x en x = 1 es −1 y la curva decrece ahí. Para una recta f(x) = mx + b, el cociente es (m(a + h) + b − ma − b)/h = m para todo h; por tanto, f′(a) = m: la derivada de una recta es su pendiente, como debe ser.

Avance h y subida 2h + h²: la pendiente de la secante es 2 + h. La tangente discontinua y = 2x − 1 tiene pendiente 2.

Hay varias maneras de escribir una derivada. Además de f′(a), la notación de Leibniz dy/dx conserva la imagen de un pequeño cambio en y dividido entre un pequeño cambio en x y es la más habitual en ciencias. Las unidades se deducen de esa imagen. Si s es una distancia en metros y t un tiempo en segundos, ds/dt se mide en metros por segundo. Una derivada siempre tiene unidades de salida por unidad de entrada, una buena forma de comprobar una respuesta.

Cargando

Arrastra para girar. Usa la rueda de desplazamiento o separa y junta dos dedos para cambiar el zoom.

Cociente incremental de x² en a = 1. Arrastra Q o pulsa h → 0; el panel compara la pendiente de la secante 2 + h con f′(1) = 2. Mueve a para probar otros puntos.

f(x) = x², a = 1, h = 0.1. ¿Cociente incremental?
f(x) = x². ¿Cuánto vale f′(3)?
f(x) = 3x + 5. ¿Cuánto vale f′(a) para cualquier a?
f(x) = x² + x. ¿Cuánto vale f′(2)?
La tangente a y = x² en (2, 4) es y = 4x + b. ¿Cuánto vale b?
f(x) = 1/x. ¿Cuánto vale f′(1)?
f(x) = x³, a = 1, h = 0.1. ¿Cociente incremental?
f′(2) = −3 significa que, cerca de x = 2, la gráfica:
- baja 3 unidades por cada unidad hacia la derecha
- sube 3 unidades por cada unidad hacia la derecha
- es horizontal
- tiene un hueco
Posición s en metros y tiempo t en segundos. ¿Unidades de ds/dt?
- metros por segundo
- segundos por metro
- metros
- metros por segundo al cuadrado
¿Qué expresión es f′(a)?
- lim_h→0 (f(a + h) − f(a))/h
- (f(a + h) − f(a))/h con h = 1
- f(a)/a
- lim_h→0 f(a + h)

Ideas clave

Cociente incremental (f(a + h) − f(a))/h: pendiente de una secante, una tasa promedio.
f′(a) = su límite cuando h → 0: pendiente de la tangente, una tasa instantánea.
Recta tangente: y = f(a) + f′(a)(x − a).
Unidades de una derivada: unidades de salida por unidad de entrada.

Fuentes de este curso (10)

OpenStax, Calculus Volume 1 : 2.1 A Preview of Calculus (tangent as the limit of secants; rock s(t) = −16t² + 64; stone h(t) = 15t − 4.9t² in the exercises: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
chapter 3 Derivatives: 3.1 Defining the Derivative (difference quotient, f′(a) = lim (f(a + h) − f(a))/h, tangent line: .../pages/3-1-defining-the-derivative)
3.2 The Derivative as a Function (graphing f′, differentiability implies continuity, |x| has a corner at 0, higher derivatives: .../pages/3-2-the-derivative-as-a-function)
3.3 Differentiation Rules (constant, power, sum, difference, constant multiple, product and quotient rules: .../pages/3-3-differentiation-rules)
3.4 Derivatives as Rates of Change (position, velocity, speed, acceleration: .../pages/3-4-derivatives-as-rates-of-change)
3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x using lim (sin h)/h = 1 and lim (cos h − 1)/h = 0: .../pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)
3.6 The Chain Rule (.../pages/3-6-the-chain-rule)
chapter 4: 4.3 Maxima and Minima (critical points, Fermat's theorem, extreme value theorem, closed interval method: .../pages/4-3-maxima-and-minima)
4.5 Derivatives and the Shape of a Graph (first derivative test: .../pages/4-5-derivatives-and-the-shape-of-a-graph)
5.3 for Newton and Leibniz working in the late 1600s and early 1700s (.../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus).

Fecha de consulta: 2026-10-17