Derivadas
Seis unidades sobre la derivada, la pendiente de una curva en un punto. La definirás como límite de pendientes de secantes, la interpretarás como una nueva función con su propia gráfica, aprenderás reglas para calcularla con rapidez, la usarás para estudiar velocidad y aceleración y terminarás buscando los puntos más altos y bajos de una gráfica. En el laboratorio de cálculo podrás acercar una secante a una tangente y arrastrar una recta tangente por una curva mientras se actualiza su pendiente.
Acerca de este curso
De todos los rectángulos con perímetro 40, el de mayor área es el cuadrado de 10 por 10. Una piedra soltada desde 64 pies llega al suelo en t = 2 con una rapidez de 64 pies por segundo. Ambas respuestas salen de la misma idea: la derivada, la pendiente de una curva en un solo punto. El curso la construye desde cero, empezando con la secante entre x = 1 y x = 1 + h en f(x) = x², cuya pendiente es exactamente 2 + h, de modo que al hacer h cada vez menor queda 2.
Las seis unidades van de la definición al uso. Primero viene la definición de la derivada, y luego la derivada como función: para x², una sola fórmula, f′(x) = 2x, da −6 en x = −3, 0 en el punto más bajo y 6 en x = 3. Sigue la regla de la potencia, con la que la derivada de x¹⁰ es 10x⁹ sin necesidad de límites. Después vienen las reglas del producto, del cociente y de la cadena, y la regla de la cadena da la derivada de (3x + 1)⁴ en una línea en lugar de desarrollar cinco términos. Las razones de cambio convierten la altura en velocidad, y la última unidad busca pendientes iguales a cero para hallar los puntos más altos y más bajos. En el laboratorio de cálculo arrastras un punto para que una secante se reduzca hasta convertirse en tangente, y un punto morado sobre la curva discontinua de la derivada queda a la altura de la pendiente que estás leyendo. Con f(x) = x³ − 3x puedes arrastrar sobre el máximo y el mínimo y ver cómo la pendiente llega a cero.
Antes de empezar
La derivada se define como un límite de pendientes de secantes, así que empieza por Límites. Sentirte cómodo con los exponentes, el desarrollo de paréntesis y la pendiente de una recta ayuda en todo el curso, y en la unidad sobre las reglas del producto, del cociente y de la cadena también se derivan el seno y el coseno, por lo que conviene conocer algo esas funciones.
Al terminar
Después podrás hallar la derivada de x² a partir del cociente de diferencias, leer f′(x) = 2x como una pendiente para cada x y derivar x¹⁰ con la regla de la potencia. Usarás las reglas del producto, del cociente y de la cadena, convertirás una fórmula de altura en velocidad y aceleración de una roca que cae y mostrarás que el cuadrado de 10 por 10 tiene el área mayor para un perímetro de 40.
- 1Definición de la derivadaPara f(x) = x², la pendiente de la secante desde x = 1 hasta x = 1 + h es exactamente 2 + h. Al hacer que h tienda a cero, solo queda 2.
- 2La derivada como funciónLa pendiente de y = x² es −6 en x = −3, 0 en el punto más bajo y 6 en x = 3. Una sola fórmula, f′(x) = 2x, las da todas.
- 3La regla de la potencia y las reglas básicasLa derivada de x¹⁰ es 10x⁹. Baja el exponente como factor y réstale uno al exponente; no hace falta calcular un límite.
- 4Reglas del producto, del cociente y de la cadenaDesarrollar (3x + 1)⁴ requiere cinco términos algebraicos. La regla de la cadena da su derivada, 12(3x + 1)³, en una línea.
- 5Las derivadas como tasas de cambioUna piedra que se deja caer desde 64 pies tiene altura −16t² + 64. Deriva una vez y obtienes su velocidad, −32t; llega al suelo en t = 2 con una rapidez de 64 pies por segundo.
- 6Máximos y mínimosDe todos los rectángulos de perímetro 40, el de mayor área es el cuadrado de 10 por 10. Con la derivada lo encuentras buscando una pendiente nula.
Fuentes de este curso (10)
- OpenStax, Calculus Volume 1 : 2.1 A Preview of Calculus (tangent as the limit of secants; rock s(t) = −16t² + 64; stone h(t) = 15t − 4.9t² in the exercises: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
- chapter 3 Derivatives: 3.1 Defining the Derivative (difference quotient, f′(a) = lim (f(a + h) − f(a))/h, tangent line: .../pages/3-1-defining-the-derivative)
- 3.2 The Derivative as a Function (graphing f′, differentiability implies continuity, |x| has a corner at 0, higher derivatives: .../pages/3-2-the-derivative-as-a-function)
- 3.3 Differentiation Rules (constant, power, sum, difference, constant multiple, product and quotient rules: .../pages/3-3-differentiation-rules)
- 3.4 Derivatives as Rates of Change (position, velocity, speed, acceleration: .../pages/3-4-derivatives-as-rates-of-change)
- 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x using lim (sin h)/h = 1 and lim (cos h − 1)/h = 0: .../pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)
- 3.6 The Chain Rule (.../pages/3-6-the-chain-rule)
- chapter 4: 4.3 Maxima and Minima (critical points, Fermat's theorem, extreme value theorem, closed interval method: .../pages/4-3-maxima-and-minima)
- 4.5 Derivatives and the Shape of a Graph (first derivative test: .../pages/4-5-derivatives-and-the-shape-of-a-graph)
- 5.3 for Newton and Leibniz working in the late 1600s and early 1700s (.../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus).
Fecha de consulta: 2026-10-17