Las derivadas como tasas de cambio

Una piedra que se deja caer desde 64 pies tiene altura −16t² + 64. Deriva una vez y obtienes su velocidad, −32t; llega al suelo en t = 2 con una rapidez de 64 pies por segundo.

Posición, velocidad y aceleración

Si s(t) es la posición de un objeto que se mueve por una recta en el instante t, su velocidad es v(t) = s′(t), la tasa de cambio instantánea de la posición. La velocidad tiene signo: positivo cuando el objeto se mueve en el sentido positivo y negativo cuando va en el contrario. La rapidez es el valor absoluto |v(t)| y no tiene en cuenta el sentido. La aceleración es a(t) = v′(t) = s″(t), la tasa a la que cambia la velocidad. OpenStax reúne estas ideas en la sección 3.4 y las aplica a objetos que caen o se lanzan.

Toma la piedra del curso de límites, s(t) = −16t² + 64 pies. Su velocidad es v(t) = −32t pies por segundo. En t = 0.5 vale −16, el número al que apuntaban las pendientes de las secantes. La piedra llega al suelo cuando s(t) = 0: 16t² = 64, t = 2 segundos. Su velocidad entonces es v(2) = −64 pies por segundo, de modo que su rapidez es 64 pies por segundo. La aceleración es a(t) = −32 pies por segundo al cuadrado en todo momento, el efecto constante de la gravedad en estas unidades. Todos los signos negativos significan lo mismo: hacia abajo.

Un objeto lanzado hacia arriba

Un ejercicio de OpenStax lanza una piedra desde el suelo a 15 metros por segundo, con altura h(t) = 15t − 4.9t² metros. Su velocidad es v(t) = 15 − 9.8t. En t = 1 aún sube a 5.2 metros por segundo. Deja de subir cuando v(t) = 0, en t = 15/9.8 ≈ 1.53 segundos, y ese es su punto más alto: h ≈ 11.48 metros. Después v es negativa y la piedra cae. La aceleración es −9.8 metros por segundo al cuadrado durante todo el movimiento, el valor de g usado en ese ejercicio.

Fíjate en el método del último cálculo: el punto más alto del vuelo es donde la velocidad, una derivada, vale cero. Es un adelanto de la unidad 6. Observa también que las tasas promedio e instantáneas responden a preguntas distintas. La velocidad promedio de la piedra durante toda la caída es (0 − 64)/2 = −32 pies por segundo, mientras que su velocidad instantánea va de 0 al principio a −64 al final.

Más allá del movimiento

Cualquier cantidad que cambia con otra tiene una derivada con significado. Si P(t) es una población, P′(t) es su tasa de crecimiento en individuos por año. Si C(x) es el costo de fabricar x artículos, C′(x), el costo marginal, aproxima el costo de fabricar uno más. Si V es el volumen de agua en un tanque, dV/dt es el caudal. En cada caso, las unidades de la derivada indican cómo interpretarla, igual que los pies por segundo en la piedra.