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変化率としての微分

64フィートの高さから落とした石の高さは −16t² + 64 です。1回微分すると速度 −32t が得られます。t = 2 で地面に達するときの速さは毎秒64フィートです。

位置・速度・加速度

直線上を動く物体の時刻 t での位置を s(t) とすると、速度は v(t) = s′(t) で、位置の瞬間変化率です。速度には符号があり、正方向に動くときは正、逆方向なら負です。速さは方向を除いた絶対値 |v(t)| です。加速度 a(t) = v′(t) = s″(t) は、速度の変化率を表します。OpenStaxの3.4節では、これらを落下や投げ上げ運動に使っています。

極限のコースで扱った石の位置は s(t) = −16t² + 64 フィートです。速度は v(t) = −32t フィート毎秒です。t = 0.5 では −16 となり、割線の傾きから予想した値と一致します。地面に達するのは s(t) = 0、すなわち 16t² = 64 より t = 2 秒です。そのときの速度は v(2) = −64 フィート毎秒なので、速さは64フィート毎秒です。加速度は常に a(t) = −32 フィート毎秒毎秒で、この単位系での一定の重力加速度です。負号はどれも下向きを表します。

落下する石の高さ s(t)（実線）と速度 v(t) = s′(t)（破線）です。速度の直線は −32 の一定の割合で下がります。

上に投げた場合

OpenStaxの演習では、地面から石を毎秒15メートルで上向きに投げます。高さは h(t) = 15t − 4.9t² メートルで、速度は v(t) = 15 − 9.8t です。t = 1 では、石はまだ毎秒5.2メートルで上昇しています。v(t) = 0 となる t = 15/9.8 ≈ 1.53 秒で上昇が止まり、高さは最大の h ≈ 11.48 メートルになります。そのあとは v が負になり、落下します。加速度は終始 −9.8 メートル毎秒毎秒で、この演習の g の値です。

今の計算では、導関数である速度が0になる点を探して最高点を求めました。これは単元6への入口です。また、平均と瞬間では変化率が異なることにも注意しましょう。石が落下する間の平均速度は (0 − 64)/2 = −32 フィート毎秒ですが、瞬間の速度は初めの0から最後の −64 まで変化します。

運動以外への応用

ある量が別の量に応じて変化するとき、その導関数にも意味があります。P(t) が人口なら P′(t) は1年当たりの増加人数です。C(x) が x 個の製品を作る費用なら、C′(x) は限界費用で、もう1個作る費用を近似します。V がタンク内の水の体積なら、dV/dt は流量です。石でのフィート毎秒と同様に、どの場合も導関数の単位から意味を読み取れます。

ここでのモデルは空気抵抗を無視しています。実際に64フィートから落とした石は、少し遅く地面に達し、その速さも少し小さくなります。羽ならずっと遅くなります。微分という道具は同じで、変わるのは位置の式です。
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ドラッグで回転、スクロールまたはピンチで拡大・縮小。

落下する石の高さ s(t) = −16t² + 64 です。t をドラッグすると、接線の傾きが速度 −32t フィート毎秒を表します。
  1. s(t) = −16t² + 64 のとき、t = 0.5 での速度は何 ft/s ですか？
  2. 同じ石について、t = 1.5 での速度はいくつですか？
  3. 石が地面に達する（s = 0）のは何秒後ですか？
  4. その瞬間の速さは何 ft/s ですか？
  5. 石の加速度は何 ft/s² ですか？
  6. 落下全体、t = 0 から2までの平均速度はいくつですか？
  7. 石の高さは h(t) = 15t − 4.9t² です。t = 1 での速度は何 m/s ですか？
  8. 石が最も高くなる時刻を、小数第2位まで答えてください。
  9. 石の最高の高さをメートルで、小数第2位まで答えてください。
  10. 速度が −10 m/s のとき、速さはいくつですか？
    • 速さは 10 m/s です
    • 速さは −10 m/s です
    • 速さは0です
    • 速さは 100 m/s です
ポイント
  • v(t) = s′(t)、a(t) = v′(t) = s″(t)、速さ = |v(t)| です。
  • 速度が負なら、負方向に動いています。
  • 投げた物体は v(t) = 0 のときに最も高くなります。
  • どの導関数も、入力1単位当たりの出力の変化率を表します。
このコースの出典 (10)
  • OpenStax, Calculus Volume 1 : 2.1 A Preview of Calculus (tangent as the limit of secants; rock s(t) = −16t² + 64; stone h(t) = 15t − 4.9t² in the exercises: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
  • chapter 3 Derivatives: 3.1 Defining the Derivative (difference quotient, f′(a) = lim (f(a + h) − f(a))/h, tangent line: .../pages/3-1-defining-the-derivative)
  • 3.2 The Derivative as a Function (graphing f′, differentiability implies continuity, |x| has a corner at 0, higher derivatives: .../pages/3-2-the-derivative-as-a-function)
  • 3.3 Differentiation Rules (constant, power, sum, difference, constant multiple, product and quotient rules: .../pages/3-3-differentiation-rules)
  • 3.4 Derivatives as Rates of Change (position, velocity, speed, acceleration: .../pages/3-4-derivatives-as-rates-of-change)
  • 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x using lim (sin h)/h = 1 and lim (cos h − 1)/h = 0: .../pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)
  • 3.6 The Chain Rule (.../pages/3-6-the-chain-rule)
  • chapter 4: 4.3 Maxima and Minima (critical points, Fermat's theorem, extreme value theorem, closed interval method: .../pages/4-3-maxima-and-minima)
  • 4.5 Derivatives and the Shape of a Graph (first derivative test: .../pages/4-5-derivatives-and-the-shape-of-a-graph)
  • 5.3 for Newton and Leibniz working in the late 1600s and early 1700s (.../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus).

確認日: 2026-10-17