積・商・合成関数の微分法

(3x + 1)⁴ を展開すると5項になりますが、合成関数の微分法なら、その導関数 12(3x + 1)³ を1行で求められます。

積の微分法

前の単元で、積の導関数はそれぞれの導関数の積ではないと説明しました。正しい公式は d/dx (f·g) = f′·g + f·g′ です。辺 f と g が両方伸びる長方形を考えましょう。面積 f·g の増加分は、辺 g に沿う幅 Δf の帯と、辺 f に沿う幅 Δg の帯、それに極限で消える小さな角の部分です。f(x) = x²、g(x) = x³ + 1 では、2x(x³ + 1) + x²(3x²) = 5x⁴ + 2x となります。先に x⁵ + x² に展開しても、同じ答えです。

商の微分法

商については、g が0でないところで d/dx (f/g) = (f′·g − f·g′)/g² です。分子には引き算があるので、順序に注意します。「分母×分子の微分、引く、分子×分母の微分。それを分母の2乗で割る」と覚えると便利です。x/(x + 1) では f = x、f′ = 1、g = x + 1、g′ = 1 なので、導関数は ((x + 1) − x)/(x + 1)² = 1/(x + 1)² です。x = 1 では 1/4 になります。1/x で使った負の指数の微分法も、この特別な場合です。

正弦と余弦

OpenStaxでは、極限のコースで扱った2つの極限を用い、定義から正弦の導関数を求めています。h をラジアンで表すと、h → 0 のとき (sin h)/h → 1、(cos h − 1)/h → 0 です。結果は d/dx sin x = cos x となり、同様に d/dx cos x = −sin x です。下のラボでも確認できます。sin x の傾きは x = 0 で1、頂点の x = π/2 で0、x = π で −1 となり、cos x の値と一致します。この公式はラジアンでのみ成り立ちます。

合成関数の微分法

(3x + 1)⁴、sin(2x)、√(x² + 9) のように、関数の中に別の関数を入れた形はよく登場します。どれも合成関数の微分法で扱えます。y = f(g(x)) なら y′ = f′(g(x))·g′(x) です。中身をそのままにして外側を微分し、内側の導関数を掛けます。(3x + 1)⁴ では、外側 u⁴ の導関数は 4u³、内側 3x + 1 の導関数は3なので、4(3x + 1)³·3 = 12(3x + 1)³ です。ライプニッツの記法なら dy/dx = (dy/du)(du/dx) となり、分数を約分するような形で覚えられます。

忘れがちなのは、内側の導関数を掛けることです。sin(2x) の導関数は cos(2x)·2 なので、x = 0 での傾きは2です。グラフが横方向に2倍の割合で圧縮されるため、sin x の傾きの2倍になります。√(x² + 9) = (x² + 9)^1/2 の導関数は (1/2)(x² + 9)^−1/2·2x = x/√(x² + 9) で、x = 4 では 4/5 です。

読み込み中

ドラッグで回転、スクロールまたはピンチで拡大・縮小。

f(x) = sin x と、その導関数（破線）です。点をドラッグすると、接線から読み取る傾きが常に cos x と一致します。

x = 1 での d/dx [x²(x³ + 1)] はいくつですか？
x = 1 での d/dx [x/(x + 1)] はいくつですか？
x = 1 での d/dx [(x² + 1)/x] はいくつですか？
x = 0 での d/dx (3x + 1)⁴ はいくつですか？
x = 1 での d/dx (x² + 1)³ はいくつですか？
x = 0 での d/dx sin(2x) はいくつですか？
x = π/2 での d/dx cos x はいくつですか？
x = 4 での d/dx √(x² + 9) を小数で答えてください。
f(g(x)) の微分では、f′(g(x)) に何を掛けますか？
- g′(x)
- g(x)
- f′(x)
- 何も掛けません
d/dx sin x = cos x で x をラジアンにするのはなぜですか？
- 証明で使う (sin h)/h → 1 は、ラジアンでのみ成り立つからです
- 度は数ではないからです
- 度では余弦が定義されないからです
- どちらでも同じです

ポイント

積：(fg)′ = f′g + fg′。
商：(f/g)′ = (f′g − fg′)/g²。
ラジアンでは (sin x)′ = cos x、(cos x)′ = −sin x です。
合成関数：(f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x)。内側の導関数を忘れずに掛けます。

このコースの出典 (10)

OpenStax, Calculus Volume 1 : 2.1 A Preview of Calculus (tangent as the limit of secants; rock s(t) = −16t² + 64; stone h(t) = 15t − 4.9t² in the exercises: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
chapter 3 Derivatives: 3.1 Defining the Derivative (difference quotient, f′(a) = lim (f(a + h) − f(a))/h, tangent line: .../pages/3-1-defining-the-derivative)
3.2 The Derivative as a Function (graphing f′, differentiability implies continuity, |x| has a corner at 0, higher derivatives: .../pages/3-2-the-derivative-as-a-function)
3.3 Differentiation Rules (constant, power, sum, difference, constant multiple, product and quotient rules: .../pages/3-3-differentiation-rules)
3.4 Derivatives as Rates of Change (position, velocity, speed, acceleration: .../pages/3-4-derivatives-as-rates-of-change)
3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x using lim (sin h)/h = 1 and lim (cos h − 1)/h = 0: .../pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)
3.6 The Chain Rule (.../pages/3-6-the-chain-rule)
chapter 4: 4.3 Maxima and Minima (critical points, Fermat's theorem, extreme value theorem, closed interval method: .../pages/4-3-maxima-and-minima)
4.5 Derivatives and the Shape of a Graph (first derivative test: .../pages/4-5-derivatives-and-the-shape-of-a-graph)
5.3 for Newton and Leibniz working in the late 1600s and early 1700s (.../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus).

確認日: 2026-10-17