Produkt-, Quotienten- und Kettenregel

Beim Ausmultiplizieren von (3x + 1)⁴ entstehen fünf Terme. Mit der Kettenregel erhältst du die Ableitung 12(3x + 1)³ in einer Zeile.

Die Produktregel

Die letzte Einheit hat gewarnt: Die Ableitung eines Produkts ist nicht das Produkt der Ableitungen. Richtig ist d/dx (f·g) = f′·g + f·g′. Stell dir ein Rechteck vor, dessen Seiten f und g wachsen. Seine Fläche f·g wächst um zwei Streifen: einen an der Seite g mit der Breite Δf und einen an der Seite f mit der Breite Δg. Dazu kommt eine winzige Ecke, die im Grenzwert verschwindet. Für f(x) = x² und g(x) = x³ + 1 ergibt die Regel 2x(x³ + 1) + x²(3x²) = 5x⁴ + 2x. Erst ausmultiplizieren zu x⁵ + x² liefert dasselbe Ergebnis.

Die Quotientenregel

Für einen Quotienten gilt d/dx (f/g) = (f′·g − f·g′)/g², sofern g nicht null ist. Wegen des Minuszeichens ist die Reihenfolge im Zähler wichtig. Ein Merksatz lautet: Ableitung oben mal unten minus oben mal Ableitung unten, geteilt durch unten zum Quadrat. Für x/(x + 1) gilt f = x, f′ = 1, g = x + 1, g′ = 1. Die Ableitung ist also ((x + 1) − x)/(x + 1)² = 1/(x + 1)². Bei x = 1 ergibt das 1/4. Die Potenzregel für negative Exponenten, die du bei 1/x verwendet hast, ist ein Spezialfall.

Sinus und Kosinus

OpenStax berechnet die Sinusableitung aus der Grenzwertdefinition mithilfe zweier bekannter Grenzwerte: (sin h)/h → 1 und (cos h − 1)/h → 0 für h → 0, wobei h im Bogenmaß angegeben wird. Das Ergebnis ist d/dx sin x = cos x; entsprechend gilt d/dx cos x = −sin x. Die erste Formel siehst du im Labor unten: Die Steigung von sin x ist bei x = 0 gleich 1, am Hochpunkt x = π/2 gleich 0 und bei x = π gleich −1. Genau diese Werte hat cos x. Die Formeln gelten nur im Bogenmaß.

Die Kettenregel

Viele Funktionen entstehen, indem eine Funktion in eine andere eingesetzt wird: (3x + 1)⁴, sin(2x), √(x² + 9). Die Kettenregel erfasst sie alle: Für y = f(g(x)) gilt y′ = f′(g(x))·g′(x). Leite die äußere Funktion ab, lasse die innere unverändert und multipliziere dann mit der inneren Ableitung. Bei (3x + 1)⁴ ist die äußere Funktion u⁴ mit Ableitung 4u³. Die innere Funktion 3x + 1 hat die Ableitung 3. Somit erhältst du 4(3x + 1)³·3 = 12(3x + 1)³. In Leibniz-Schreibweise lautet das dy/dx = (dy/du)(du/dx). Es sieht aus, als würden sich Brüche kürzen, und lässt sich so gut merken.

Der häufig vergessene Faktor ist die innere Ableitung. Die Ableitung von sin(2x) ist cos(2x)·2. Bei x = 0 beträgt die Steigung daher 2, doppelt so viel wie bei sin x, weil der Graph waagerecht um den Faktor 2 gestaucht ist. Für √(x² + 9) = (x² + 9)^1/2 lautet die Ableitung (1/2)(x² + 9)^−1/2·2x = x/√(x² + 9). Bei x = 4 ergibt das 4/5.