Ableitungen als Änderungsraten

Ein aus 64 Fuß Höhe fallengelassener Stein hat die Höhe −16t² + 64. Einmaliges Ableiten liefert seine Geschwindigkeit −32t. Bei t = 2 trifft er mit 64 Fuß pro Sekunde auf den Boden.

Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung

Beschreibt s(t) den Ort eines Körpers auf einer Geraden zur Zeit t, ist seine Geschwindigkeit v(t) = s′(t), die momentane Änderungsrate des Ortes. Sie hat ein Vorzeichen: positiv bei Bewegung in die positive Richtung, negativ in die Gegenrichtung. Der Geschwindigkeitsbetrag |v(t)| lässt die Richtung außer Acht. Die Beschleunigung a(t) = v′(t) = s″(t) beschreibt, wie sich die Geschwindigkeit ändert. OpenStax stellt dies in Abschnitt 3.4 zusammen und wendet es auf fallende und geworfene Körper an.

Nimm den Stein aus dem Grenzwertkurs: s(t) = −16t² + 64 Fuß. Seine Geschwindigkeit ist v(t) = −32t Fuß pro Sekunde. Bei t = 0.5 ergibt das −16, den Wert, auf den die Sekantensteigungen hindeuteten. Der Stein erreicht den Boden bei s(t) = 0: 16t² = 64, t = 2 Sekunden. Seine Geschwindigkeit beträgt dann v(2) = −64 Fuß pro Sekunde, ihr Betrag also 64 Fuß pro Sekunde. Die Beschleunigung ist jederzeit a(t) = −32 Fuß pro Sekunde zum Quadrat, die konstante Schwerkraftbeschleunigung in diesen Einheiten. Alle Minuszeichen bedeuten dasselbe: nach unten.

Ein Wurf nach oben

In einer OpenStax-Aufgabe wird ein Stein mit 15 Metern pro Sekunde vom Boden nach oben geworfen. Seine Höhe ist h(t) = 15t − 4.9t² Meter, seine Geschwindigkeit v(t) = 15 − 9.8t. Bei t = 1 steigt er noch mit 5.2 Metern pro Sekunde. Er hört bei v(t) = 0 auf zu steigen, also bei t = 15/9.8 ≈ 1.53 Sekunden. Dann erreicht er mit h ≈ 11.48 Metern seinen höchsten Punkt. Danach ist v negativ und der Stein fällt. Die Beschleunigung beträgt durchgehend −9.8 Meter pro Sekunde zum Quadrat, der in der Aufgabe verwendete Wert für g.

Achte auf die Methode der letzten Rechnung: Am höchsten Punkt ist die Geschwindigkeit, also eine Ableitung, null. Das ist ein Vorgeschmack auf Einheit 6. Beachte auch den Unterschied zwischen mittlerer und momentaner Änderungsrate. Die mittlere Geschwindigkeit während des gesamten Falls beträgt (0 − 64)/2 = −32 Fuß pro Sekunde. Die momentane Geschwindigkeit reicht hingegen von 0 am Anfang bis −64 am Ende.

Mehr als Bewegung

Jede Größe, die sich mit einer anderen ändert, hat eine inhaltlich deutbare Ableitung. Ist P(t) eine Bevölkerungszahl, beschreibt P′(t) ihre Wachstumsrate in Personen pro Jahr. Sind C(x) die Kosten für die Herstellung von x Stück, nähern die Grenzkosten C′(x) die Kosten eines weiteren Stücks an. Ist V das Wasservolumen eines Tanks, ist dV/dt der Volumenstrom. In jedem Fall zeigen die Einheiten, wie du die Ableitung lesen musst, genauso wie Fuß pro Sekunde beim Stein.