Analysis

Drei Fragen an eine Kurve

Ein Graph kann verschiedene Fragen beantworten. Welchem Wert nähert er sich an einer Lücke? Wie steil ist er in einem bestimmten Augenblick? Wie groß ist die Fläche darunter? Die Kurse trennen diese Fragen, bevor sie ihre Zusammenhänge zeigen. Die Schreibweise ist wichtig, aber ebenso die Erklärung, was eine Rechnung misst. Eine Steigung ist keine Fläche, und der Funktionswert an einer Stelle muss nicht dem dortigen Grenzwert entsprechen. Tabellen, Formeln und bewegliche Graphen liefern unterschiedliche Belege für eine Antwort.

Benachbarte Werte vor momentanen Änderungsraten

Beginne mit Grenzwerte. Die Einheiten behandeln die beiden Ausgangsfragen der Analysis, Funktionsgrenzwerte, einseitige und unendliche Grenzwerte, Grenzwertregeln und Stetigkeit. Eine Funktion mit einer Lücke macht den Unterschied zwischen der Annäherung an eine Stelle und dem Erreichen ihres Funktionswerts sichtbar. Prüfe Werte von beiden Seiten, statt einer einzelnen Tabellenzeile zu vertrauen.

Weiter geht es mit Ableitungen. Der Differenzenquotient wird zur Tangentensteigung, wenn der Abstand zwischen den Punkten gegen null geht. Danach behandelt der Kurs die Ableitung als Funktion, entwickelt Potenz-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel und nutzt Ableitungen für Änderungsraten sowie Hoch- und Tiefpunkte. Lies das Vorzeichen der Ableitung zusammen mit der ursprünglichen Kurve, statt Ableiten als bloßes Nachmachen von Regeln zu betrachten.

Zum Abschluss folgt Integrale. Zunächst nähern Rechtecke eine Fläche an; Riemannsummen und die Mittelpunktregel machen die Näherung systematisch. Das bestimmte Integral und der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verbinden Aufsummieren und Ableiten. Die letzte Einheit behandelt Nettoänderung und Mittelwert, damit ein Integral mehr bedeutet als den Platz unter einer Zeichnung.

Punkte verschieben, dann Zahlen erklären

Verschiebe im Sekantenlabor für x² bei a = 1 den zweiten Punkt und vergleiche die Steigung 2 + h mit dem Grenzwert 2. Fahre im Ableitungslabor entlang x³ − 3x und beobachte, wie der Punkt auf der Ableitungskurve der aktuellen Steigung folgt. Ändere im Integrationslabor die Rechteckanzahl und prüfe, wie sich die Flächenschätzung verändert. Sage das Ergebnis möglichst voraus, bevor du einen Regler bewegst, und erkläre Abweichungen anschließend anhand der angezeigten Größen.

Voraussetzungen, die eine Abkürzung verdecken kann

Ein Grenzwert kann existieren, obwohl der Funktionswert fehlt oder anders ist. Stetigkeit garantiert keine Differenzierbarkeit: Knicke und senkrechte Tangenten verdienen besondere Aufmerksamkeit. Eine Ableitung von null bedeutet nicht automatisch einen Hoch- oder Tiefpunkt, wie eine abgeflachte kubische Kurve zeigt. Die Ableitung eines Produkts ist nicht das Produkt der Ableitungen, und bei der Kettenregel gehört die innere Ableitung dazu. Behalte diese Unterschiede bei den vorgerechneten Aufgaben im Blick. Sie erklären, warum eine vertraut wirkende Formel eine falsche Antwort liefern kann, wenn ihre Voraussetzungen missachtet werden.