微分積分

1本の曲線に対する3つの問い

グラフにはいくつもの問いを投げかけられます。点が抜けた場所の近くでは、どの値に近づくのでしょうか。ある瞬間の傾きはいくつでしょうか。曲線の下の面積はどれくらいでしょうか。各コースでは、まずこれらの問いを分け、その後でつながりを示します。記号の使い方だけでなく、計算が何を測っているかを説明することも大切です。傾きは面積ではなく、ある点での関数の値と極限も同じとは限りません。表、式、動かせるグラフは、それぞれ違った形で答えの根拠を示します。

瞬間の変化率の前に、近くの値を調べる

まず極限から始めます。微積分の出発点となる2つの問い、関数の極限、片側極限と無限大に発散する極限、極限の計算法則、連続性を学びます。穴のある関数を見ると、ある点に近づくことと、その点の値に達することの違いがわかります。表の1行だけを信用せず、両側から値を確かめましょう。

次は微分です。2点の間隔をゼロに近づけると、差商は接線の傾きに近づきます。続いて導関数を1つの関数として捉え、べき関数、積、商、合成関数の微分法を学び、変化率や極大・極小に応用します。微分を公式の写し取りにせず、元の曲線と照らし合わせて導関数の符号を読みましょう。

最後は積分です。まず長方形で面積を近似し、リーマン和と中点則で近似の手順を整えます。定積分と微積分の基本定理は、積み重ねと微分を結び付けます。最後の単元では正味の変化と平均値を考え、積分が単に図の下の面積を表すだけではないことを学びます。

点を動かしてから、数の意味を説明する

x²のa = 1における割線の実験では、もう一方の点を動かし、傾き2 + hとその極限2を比べます。微分の実験ではx³ − 3xに沿って点を動かし、その場所の傾きに合わせて導関数の曲線上の点が動く様子を観察します。積分の実験では長方形の数を変え、面積の推定値がどう変わるか調べます。操作する前に結果を予想し、違いがあれば表示された量を使って説明してみましょう。

近道では見落としやすい条件

関数の値が存在しなかったり、別の値だったりしても、極限は存在することがあります。連続でも微分可能とは限りません。角や垂直な接線には注意が必要です。平らになる3次曲線が示すように、微分係数がゼロでも必ず極大や極小になるわけではありません。積の導関数は導関数の積ではなく、合成関数の微分では内側の関数の導関数が必要です。解答例を読むときも、こうした違いを意識しましょう。見慣れた公式でも、条件を無視すれば答えを間違える理由がわかります。