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積分

微積分のもう1つの柱である、細い長方形を積み重ねて曲線の下の面積を求める考え方を、5つの単元で学びます。Σを使って長方形の面積を足し、左端・右端・中点を使う和を比べ、その極限として定積分を定義します。微分と積分を結ぶ微積分の基本定理を学び、正味の変化量や平均値に応用します。微積分実験室では最大64個の長方形を描き、各近似値と厳密な値を並べて確認できます。

進み具合

このコースについて

微積分の二つ目の大きな考え方は、細い長方形を積み重ねてつくる、曲線の下の面積です。コースは、[0, 2] の y = x² と、左端の長方形四つから始まります。x² はこの区間で増加しているので、左端の長方形はどれも曲線の下に収まり、右端の長方形は曲線の上に飛び出します。そのため L₄ は小さめ、R₄ は大きめの見積もりになり、本当の面積は 1.75 と 3.75 の間にあります。実験では n を何回か倍にしていくと、二つの和がどちらも 8/3 ≈ 2.667 に近づいていきます。

五つの単元は、長方形による面積の近似、リーマン和と中点則、定積分、微積分学の基本定理、そして正味の変化量と平均値です。シグマ記号を使うと、長い和を短く書けます。中点則の単元では、n を倍にするたびに端点による誤差はおよそ半分になるのに対して、中点による誤差は約四分の一に減ることを示します。0.042、0.010、0.0026、0.00065 と小さくなります。定積分はこうした和の極限で、符号つきの正味の面積を表します。[0, 3] での 4 − x² なら、軸の上の 16/3 から下の 7/3 を引いて 3 になります。基本定理は、別々のもののように見えた傾きと面積が、互いに逆の操作であることを結びつけます。y = sin x の 0 から π までのひとつの山の面積はちょうど 2 で、中点の長方形八つなら約 2.013 になります。

最後の単元では、この定理を正味の変化量として読みます。[0, 4] での v(t) = t² − 4t + 3（架空の台車の速度）では、面積 4/3 の部分が三つあり、変位は 4/3 ですが、動いた距離は 4 です。落とした石は v(t) = −32t なので、t = 0 から 2 までの変位は、その速度を積分して求めます。また、原始関数が合っているかは、微分して確かめるように勧めています。(2/3)x^(3/2) を微分すると √x になります。

はじめる前に

定積分は和の極限で、微積分の基本定理がそれを原始関数に結びつけるので、先に極限と微分を学びましょう。シグマ記号は最初の単元で説明されます。微積分の実験室では最大 64 個の長方形の和が自動で求められ、各和の横に正確な値が表示されます。

終わったら

左、右、中点の長方形で x² の下の面積を見積もり、1.75 と 3.75 が 8/3 をはさむことを確かめ、和をシグマ記号で書き、軸より下の面積を負として扱えるようになります。x³/3 のような原始関数で積分を計算し、台車の移動距離 4 メートルと変位 4/3 メートルを区別できます。

  1. 1長方形による面積の近似y = x² の0から2までを4個の長方形で近似すると、左端を使えば1.75、右端なら3.75です。真の面積 8/3 は、その間にあります。
  2. 2リーマン和と中点則x² の [0, 2] では、わずか4個の長方形でも中点の和は2.625となり、厳密な 8/3 との差はすでに0.042未満です。
  3. 3定積分4 − x² の0から3までの積分は3です。軸の上の16/3から、下の7/3を引いた値です。
  4. 4微積分の基本定理x² の0から2までを中点の長方形32個で近似しても、誤差は0.0007あります。原始関数 x³/3 を使えば、8/3 − 0 という1回の引き算で厳密な8/3が得られます。
  5. 5正味の変化量と平均値速度 t² − 4t + 3 で動く台車は、4秒間に合計4メートル進みますが、出発点からは4/3メートルしか離れていません。
このコースの出典 (6)
  • OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 5 Integration: 5.1 Approximating Areas (Archimedes and the method of exhaustion; sigma notation with Σ 3^i for i = 1 to 5 = 363; left and right endpoint approximations L4 = 1.75 and R4 = 3.75 for x² on [0, 2], L6 = 3.4375 and R6 = 5.6875 for x²/2 on [0, 3]; (x − 1)³ + 4 on [0, 2] approaching 8; Riemann sums named for the 19th-century mathematician Bernhard Riemann; upper and lower sums: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-1-approximating-areas)
  • 5.2 The Definite Integral (limit of Riemann sums, integrability of continuous functions, net signed area, properties: .../pages/5-2-the-definite-integral)
  • 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (Newton and Leibniz, among others, late 1600s and early 1700s; mean value theorem for integrals; parts 1 and 2: .../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus)
  • 5.4 Integration Formulas and the Net Change Theorem (.../pages/5-4-integration-formulas-and-the-net-change-theorem)
  • 4.10 Antiderivatives (.../pages/4-10-antiderivatives)
  • MacTutor, University of St Andrews: Archimedes (287 BC to 212 BC; area of a parabolic segment; π bounded with 96-sided inscribed and circumscribed polygons: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes) and Leibniz (first used the ∫ f(x) dx notation in a manuscript of 21 November 1675: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Leibniz).

確認日: 2026-10-17