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正味の変化量と平均値

速度 t² − 4t + 3 で動く台車は、4秒間に合計4メートル進みますが、出発点からは4/3メートルしか離れていません。

変化率を積分します

基本定理を逆向きに読みましょう。F がある量、F′ がその変化率なら、∫ab F′(x) dx = F(b) − F(a) です。OpenStaxではこれを正味の変化の定理と呼びます。変化率を積分すると、全体の変化量になります。F(b) = F(a) + ∫ab F′(x) dx とも書け、新しい値は初めの値に蓄積した変化を加えたものです。毎分5リットルの水が12分間流れ込むなら、積分は 5 × 12 = 60 リットルです。流量が変わっても、積分が足し算を引き受けます。

変位と移動距離

運動での変化率は速度です。∫ab v(t) dt は位置の変化、すなわち変位で、逆方向の運動は負として数えます。移動距離 ∫ab |v(t)| dt は、進んだ距離をすべて足します。[0, 4] で v(t) = t² − 4t + 3 = (t − 1)(t − 3) メートル毎秒とすると、原始関数は t³/3 − 2t² + 3t です。変位は 64/3 − 32 + 12 − 0 = 4/3 メートルです。ただし t = 1 から t = 3 の間は v が負で、台車は後ろ向きに進みます。

符号が変わる点で区間を分けます。0から1では前へ4/3メートル、1から3では積分が −4/3 なので後ろへ4/3メートル、3から4では再び前へ4/3メートル進みます。正味は 4/3 − 4/3 + 4/3 = 4/3 です。移動距離は 4/3 + 4/3 + 4/3 = 4 メートルです。後ろ向きの運動を引くか足すかで答えが変わります。到着位置なら変位、燃料や摩耗、走行距離計なら移動距離を使います。

v(t) = t² − 4t + 3 の [0, 4] です。面積4/3の部分が3つあり、変位は4/3、移動距離は4です。

口座への入出金やタンクへの給排水など、変化率の符号が変わる場合も、同じように区間を分けられます。

関数の平均値

n 個の数の平均は、和を n で割ります。[a, b] 上の関数では、和の代わりに積分、n の代わりに長さ b − a を使います。favg = (1/(b − a)) ∫ab f(x) dx です。図形的には、曲線の下の領域と同じ面積を持つ、底辺 [a, b] の長方形の高さです。x² の [0, 2] での平均は (8/3)/2 = 4/3、sin x の [0, π] では 2/π ≈ 0.637 です。OpenStaxの5.3節にある積分の平均値の定理によると、連続関数は区間内のどこかで実際にその平均値を取ります。

ここでの台車は、各部分が4/3になるように選んだ架空の例です。実際の速度データは測定値の表で得られるので、そのリーマン和が積分の役割を果たします。
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[0, 4] での速度 t² − 4t + 3 です。赤い長方形は後ろ向きの運動を表します。厳密な積分4/3が変位です。
  1. 毎分5 L の水が12分間流れ込みます。合計何リットルですか？
  2. v(t) = t² − 4t + 3 の [0, 4] での変位を、メートルで小数第3位まで答えてください。
  3. 同じ運動で、総移動距離は何メートルですか？
  4. この台車が後ろ向きに動くのは、いつですか？
    • 1 < t < 3
    • 0 < t < 1
    • 3 < t < 4
    • 一度もありません
  5. 落下する石の速度は v(t) = −32t です。t = 0 から2までの変位は何 ft ですか？
  6. x² の [0, 2] での平均値を、小数第3位まで答えてください。
  7. sin x の [0, π] での平均値を、小数第3位まで答えてください。
  8. 100 L 入ったタンクから、r(t) = 2t L/min で5分間排水します。何リットル残りますか？
  9. 走行距離計が測るのはどれですか？
    • 移動距離 ∫ |v(t)| dt
    • 変位 ∫ v(t) dt
    • 最後の v(t)
    • 平均速度
  10. [a, b] での favg はどれですか？
    • (1/(b − a)) ∫ab f(x) dx
    • (f(a) + f(b))/2
    • ∫ab f(x) dx
    • f((a + b)/2)
ポイント
  • 正味の変化の定理：∫ab F′(x) dx = F(b) − F(a)。
  • 変位 ∫ v dt では正負が打ち消し合いますが、移動距離 ∫ |v| dt では打ち消し合いません。
  • 移動距離は、符号が変わる点で区間を分けて求めます。
  • 平均値：(1/(b − a)) ∫ab f(x) dx。
このコースの出典 (6)
  • OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 5 Integration: 5.1 Approximating Areas (Archimedes and the method of exhaustion; sigma notation with Σ 3^i for i = 1 to 5 = 363; left and right endpoint approximations L4 = 1.75 and R4 = 3.75 for x² on [0, 2], L6 = 3.4375 and R6 = 5.6875 for x²/2 on [0, 3]; (x − 1)³ + 4 on [0, 2] approaching 8; Riemann sums named for the 19th-century mathematician Bernhard Riemann; upper and lower sums: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-1-approximating-areas)
  • 5.2 The Definite Integral (limit of Riemann sums, integrability of continuous functions, net signed area, properties: .../pages/5-2-the-definite-integral)
  • 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (Newton and Leibniz, among others, late 1600s and early 1700s; mean value theorem for integrals; parts 1 and 2: .../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus)
  • 5.4 Integration Formulas and the Net Change Theorem (.../pages/5-4-integration-formulas-and-the-net-change-theorem)
  • 4.10 Antiderivatives (.../pages/4-10-antiderivatives)
  • MacTutor, University of St Andrews: Archimedes (287 BC to 212 BC; area of a parabolic segment; π bounded with 96-sided inscribed and circumscribed polygons: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes) and Leibniz (first used the ∫ f(x) dx notation in a manuscript of 21 November 1675: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Leibniz).

確認日: 2026-10-17