edubun
Русский
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoРусскийBahasa Indonesia日本語
Главная›Математический анализ›Интегралы

Суммарное изменение и среднее значение

Тележка со скоростью t² − 4t + 3 за четыре секунды проходит в сумме 4 метра, но оказывается лишь в 4/3 метра от начальной точки.

Интегрирование скорости изменения

Прочитай основную теорему в обратную сторону. Если F обозначает величину, а F′ скорость её изменения, то ∫ab F′(x) dx = F(b) − F(a). OpenStax называет это теоремой о суммарном изменении: интегрирование скорости изменения даёт полное изменение. Равносильная запись F(b) = F(a) + ∫ab F′(x) dx: новое значение равно старому плюс накопленное изменение. Если вода поступает в бак с постоянным расходом 5 литров в минуту в течение 12 минут, интеграл равен 5 × 12 = 60 литров; при переменном расходе интеграл выполняет суммирование за тебя.

Перемещение и путь

В движении скоростью изменения является скорость. ∫ab v(t) dt задаёт перемещение, изменение координаты, считая движение назад отрицательным. Пройденный путь ∫ab |v(t)| dt учитывает каждый метр. Возьмём v(t) = t² − 4t + 3 = (t − 1)(t − 3) метров в секунду на [0, 4] с первообразной t³/3 − 2t² + 3t. Перемещение равно 64/3 − 32 + 12 − 0 = 4/3 метра. Но между t = 1 и t = 3 скорость v отрицательна: тележка катится назад.

Разбей отрезок в точках смены знака. От 0 до 1 тележка проходит вперёд 4/3 метра. От 1 до 3 интеграл равен −4/3, то есть она возвращается на 4/3 метра. От 3 до 4 снова проходит вперёд 4/3 метра. Итог: 4/3 − 4/3 + 4/3 = 4/3. Полный путь: 4/3 + 4/3 + 4/3 = 4 метра. Ответы различаются, потому что в одном движение назад компенсирует движение вперёд, а в другом прибавляется к нему. Вопрос о конечном положении требует перемещения; вопрос о топливе, износе или счётчике пробега требует пути.

v(t) = t² − 4t + 3 на [0, 4]. Три области площадью 4/3: перемещение 4/3, путь 4.

То же разбиение подходит для любой скорости изменения, меняющей знак: например, поступлений и списаний денег со счёта или закачивания и откачивания воды из бака.

Среднее значение функции

Среднее n чисел равно их сумме, делённой на n. Для функции на [a, b] роль суммы играет интеграл, а роль n длина b − a: favg = (1/(b − a)) ∫ab f(x) dx. Геометрически это высота прямоугольника на [a, b] с такой же площадью, как область под кривой. Для x² на [0, 2] среднее равно (8/3)/2 = 4/3. Для sin x на [0, π] оно равно 2/π ≈ 0.637. Теорема о среднем для интегралов в OpenStax 5.3 добавляет: непрерывная функция действительно принимает своё среднее значение в некоторой точке отрезка.

Тележка здесь является придуманным примером, подобранным так, чтобы каждая часть давала 4/3. Настоящие данные скорости поступают в виде таблицы измерений, и тогда роль интеграла играет сумма Римана по этим данным.
Загрузка

Перетащи, чтобы повернуть. Для изменения масштаба прокрути колёсико или сведи и разведи два пальца.

Скорость t² − 4t + 3 на [0, 4]. Красные прямоугольники соответствуют движению назад. Точный интеграл 4/3 является перемещением.
  1. Вода поступает по 5 л/мин в течение 12 мин. Сколько всего литров?
  2. v(t) = t² − 4t + 3 на [0, 4]. Перемещение в метрах (3 знака после точки)?
  3. То же движение: полный пройденный путь в метрах?
  4. В какой промежуток времени тележка движется назад?
    • 1 < t < 3
    • 0 < t < 1
    • 3 < t < 4
    • никогда
  5. У падающего камня v(t) = −32t. Перемещение от t = 0 до 2 (футы)?
  6. Среднее значение x² на [0, 2] (3 знака после точки)?
  7. Среднее значение sin x на [0, π] (3 знака после точки)?
  8. В баке 100 л. Вода вытекает с расходом r(t) = 2t л/мин в течение 5 мин. Сколько литров осталось?
  9. Счётчик пробега измеряет:
    • ∫ |v(t)| dt, путь
    • ∫ v(t) dt, перемещение
    • v(t) в конце
    • среднюю скорость
  10. favg на [a, b] равно:
    • (1/(b − a)) ∫ab f(x) dx
    • (f(a) + f(b))/2
    • ∫ab f(x) dx
    • f((a + b)/2)
Главное
  • Теорема о суммарном изменении: ∫ab F′(x) dx = F(b) − F(a).
  • В перемещении ∫ v dt участки могут компенсироваться, в пути ∫ |v| dt нет.
  • Для вычисления пути разбей отрезок в точках смены знака.
  • Среднее значение: (1/(b − a)) ∫ab f(x) dx.
Источники курса (6)
  • OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 5 Integration: 5.1 Approximating Areas (Archimedes and the method of exhaustion; sigma notation with Σ 3^i for i = 1 to 5 = 363; left and right endpoint approximations L4 = 1.75 and R4 = 3.75 for x² on [0, 2], L6 = 3.4375 and R6 = 5.6875 for x²/2 on [0, 3]; (x − 1)³ + 4 on [0, 2] approaching 8; Riemann sums named for the 19th-century mathematician Bernhard Riemann; upper and lower sums: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-1-approximating-areas)
  • 5.2 The Definite Integral (limit of Riemann sums, integrability of continuous functions, net signed area, properties: .../pages/5-2-the-definite-integral)
  • 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (Newton and Leibniz, among others, late 1600s and early 1700s; mean value theorem for integrals; parts 1 and 2: .../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus)
  • 5.4 Integration Formulas and the Net Change Theorem (.../pages/5-4-integration-formulas-and-the-net-change-theorem)
  • 4.10 Antiderivatives (.../pages/4-10-antiderivatives)
  • MacTutor, University of St Andrews: Archimedes (287 BC to 212 BC; area of a parabolic segment; π bounded with 96-sided inscribed and circumscribed polygons: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes) and Leibniz (first used the ∫ f(x) dx notation in a manuscript of 21 November 1675: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Leibniz).

Проверено: 2026-10-17