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Variazione netta e valore medio

Un carrello con velocità t² − 4t + 3 percorre in totale 4 metri in quattro secondi, ma termina a soli 4/3 di metro dal punto di partenza.

Integrare un tasso di variazione

Leggi il teorema fondamentale nell'altro verso. Se F è una grandezza e F′ è il suo tasso di variazione, allora ∫ab F′(x) dx = F(b) − F(a). OpenStax lo chiama teorema della variazione netta: integrare un tasso di variazione dà la variazione totale. Equivalentemente, F(b) = F(a) + ∫ab F′(x) dx: il nuovo valore è quello iniziale più la variazione accumulata. Se l'acqua entra in un serbatoio a una portata costante di 5 litri al minuto per 12 minuti, l'integrale è 5 × 12 = 60 litri; con una portata variabile l'integrale esegue la somma al posto tuo.

Spostamento e distanza percorsa

Nel moto il tasso di variazione è la velocità. ∫ab v(t) dt è lo spostamento, cioè la variazione di posizione, che considera negativo il moto all'indietro. La distanza percorsa è ∫ab |v(t)| dt e conta ogni metro. Prendi v(t) = t² − 4t + 3 = (t − 1)(t − 3) metri al secondo su [0, 4], con primitiva t³/3 − 2t² + 3t. Lo spostamento è 64/3 − 32 + 12 − 0 = 4/3 metri. Ma v è negativa fra t = 1 e t = 3, quando il carrello torna indietro.

Dividi l'intervallo nei punti in cui cambia il segno. Da 0 a 1 il carrello avanza di 4/3 metri. Da 1 a 3 l'integrale è −4/3, quindi arretra di 4/3 metri. Da 3 a 4 avanza ancora di 4/3 metri. Risultato netto: 4/3 − 4/3 + 4/3 = 4/3. Distanza totale: 4/3 + 4/3 + 4/3 = 4 metri. Le risposte differiscono perché in un caso il moto all'indietro annulla quello in avanti, nell'altro si somma. Se la domanda chiede dove si arriva, serve lo spostamento; se riguarda carburante, usura o contachilometri, serve la distanza.

v(t) = t² − 4t + 3 su [0, 4]. Tre regioni di area 4/3: spostamento 4/3, distanza 4.

La stessa suddivisione funziona per ogni tasso che cambia segno, come il denaro che entra ed esce da un conto o l'acqua pompata dentro e fuori da un serbatoio.

Valore medio di una funzione

La media di n numeri è la loro somma divisa per n. Per una funzione su [a, b], l'integrale sostituisce la somma e la lunghezza b − a sostituisce n: favg = (1/(b − a)) ∫ab f(x) dx. Geometricamente è l'altezza del rettangolo su [a, b] con la stessa area della regione sotto la curva. Per x² su [0, 2], la media è (8/3)/2 = 4/3. Per sin x su [0, π], è 2/π ≈ 0.637. Il teorema della media integrale in OpenStax 5.3 aggiunge che una funzione continua assume effettivamente il proprio valore medio in almeno un punto dell'intervallo.

Il carrello è un esempio inventato, scelto perché ogni regione abbia area 4/3. I dati reali sulla velocità si presentano come una tabella di misure: in quel caso una somma di Riemann delle letture svolge il ruolo dell'integrale.
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Velocità t² − 4t + 3 su [0, 4]. I rettangoli rossi rappresentano il moto all'indietro. L'integrale esatto, 4/3, è lo spostamento.
  1. L'acqua entra a 5 L/min per 12 min. Quanti litri in totale?
  2. v(t) = t² − 4t + 3 su [0, 4]. Spostamento in metri (3 cifre decimali)?
  3. Stesso moto: distanza totale percorsa in metri?
  4. In quale intervallo di tempo il carrello si muove all'indietro?
    • 1 < t < 3
    • 0 < t < 1
    • 3 < t < 4
    • mai
  5. La pietra lasciata cadere ha v(t) = −32t. Spostamento da t = 0 a 2 (ft)?
  6. Valore medio di x² su [0, 2] (3 cifre decimali)?
  7. Valore medio di sin x su [0, π] (3 cifre decimali)?
  8. Un serbatoio contiene 100 L. L'acqua defluisce a r(t) = 2t L/min per 5 min. Quanti litri restano?
  9. Un contachilometri parziale misura:
    • ∫ |v(t)| dt, la distanza
    • ∫ v(t) dt, lo spostamento
    • v(t) alla fine
    • la velocità media
  10. favg su [a, b] è uguale a:
    • (1/(b − a)) ∫ab f(x) dx
    • (f(a) + f(b))/2
    • ∫ab f(x) dx
    • f((a + b)/2)
Punti chiave
  • Teorema della variazione netta: ∫ab F′(x) dx = F(b) − F(a).
  • Nello spostamento ∫ v dt i contributi possono annullarsi; nella distanza ∫ |v| dt no.
  • Per trovare la distanza, suddividi dove cambia il segno.
  • Valore medio: (1/(b − a)) ∫ab f(x) dx.
Fonti di questo corso (6)
  • OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 5 Integration: 5.1 Approximating Areas (Archimedes and the method of exhaustion; sigma notation with Σ 3^i for i = 1 to 5 = 363; left and right endpoint approximations L4 = 1.75 and R4 = 3.75 for x² on [0, 2], L6 = 3.4375 and R6 = 5.6875 for x²/2 on [0, 3]; (x − 1)³ + 4 on [0, 2] approaching 8; Riemann sums named for the 19th-century mathematician Bernhard Riemann; upper and lower sums: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-1-approximating-areas)
  • 5.2 The Definite Integral (limit of Riemann sums, integrability of continuous functions, net signed area, properties: .../pages/5-2-the-definite-integral)
  • 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (Newton and Leibniz, among others, late 1600s and early 1700s; mean value theorem for integrals; parts 1 and 2: .../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus)
  • 5.4 Integration Formulas and the Net Change Theorem (.../pages/5-4-integration-formulas-and-the-net-change-theorem)
  • 4.10 Antiderivatives (.../pages/4-10-antiderivatives)
  • MacTutor, University of St Andrews: Archimedes (287 BC to 212 BC; area of a parabolic segment; π bounded with 96-sided inscribed and circumscribed polygons: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes) and Leibniz (first used the ∫ f(x) dx notation in a manuscript of 21 November 1675: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Leibniz).

Consultato il: 2026-10-17