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Gesamtänderung und Mittelwert

Ein Wagen mit der Geschwindigkeit t² − 4t + 3 legt in vier Sekunden insgesamt 4 Meter zurück, endet aber nur 4/3 Meter von seinem Ausgangspunkt entfernt.

Eine Änderungsrate integrieren

Lies den Hauptsatz einmal andersherum. Ist F eine beliebige Größe und F′ ihre Änderungsrate, dann gilt ∫ab F′(x) dx = F(b) − F(a). OpenStax nennt dies den Satz über die Gesamtänderung: Das Integral einer Änderungsrate liefert die gesamte Änderung. Gleichwertig ist F(b) = F(a) + ∫ab F′(x) dx. Der neue Wert ist also der alte Wert plus die aufgelaufene Änderung. Fließen 12 Minuten lang konstant 5 Liter Wasser pro Minute in einen Tank, beträgt das Integral 5 × 12 = 60 Liter. Bei wechselnder Rate übernimmt das Integral das Aufsummieren.

Ortsänderung und Weglänge

Bei Bewegungen ist die Änderungsrate die Geschwindigkeit. ∫ab v(t) dt ist die Ortsänderung, wobei Rückwärtsbewegungen negativ zählen. Die zurückgelegte Weglänge ist ∫ab |v(t)| dt. Hier zählt jeder Meter positiv. Betrachte v(t) = t² − 4t + 3 = (t − 1)(t − 3) Meter pro Sekunde auf [0, 4] mit der Stammfunktion t³/3 − 2t² + 3t. Die Ortsänderung beträgt 64/3 − 32 + 12 − 0 = 4/3 Meter. Zwischen t = 1 und t = 3 ist v aber negativ. Dann rollt der Wagen rückwärts.

Teile das Intervall an den Vorzeichenwechseln. Von 0 bis 1 fährt der Wagen 4/3 Meter vorwärts. Von 1 bis 3 ist das Integral −4/3, also fährt er 4/3 Meter zurück. Von 3 bis 4 fährt er wieder 4/3 Meter vorwärts. Bilanz: 4/3 − 4/3 + 4/3 = 4/3. Gesamte Weglänge: 4/3 + 4/3 + 4/3 = 4 Meter. Die Ergebnisse unterscheiden sich, weil Rückwärtsbewegung beim einen Vorwärtsbewegung aufhebt und beim anderen hinzukommt. Geht es um den Endpunkt, ist die Ortsänderung gefragt; bei Kraftstoff, Verschleiß oder einem Tageskilometerzähler die Weglänge.

v(t) = t² − 4t + 3 auf [0, 4]. Drei Flächenstücke mit jeweils 4/3: Ortsänderung 4/3, Weglänge 4.

Dieselbe Aufteilung funktioniert für jede Rate mit Vorzeichenwechsel, etwa Ein- und Auszahlungen auf einem Konto oder Wasser, das in einen Tank hinein- und herausgepumpt wird.

Mittelwert einer Funktion

Der Mittelwert von n Zahlen ist ihre Summe geteilt durch n. Bei einer Funktion auf [a, b] übernimmt das Integral die Rolle der Summe und die Länge b − a die Rolle von n: favg = (1/(b − a)) ∫ab f(x) dx. Geometrisch ist dies die Höhe eines Rechtecks über [a, b], das denselben Flächeninhalt wie das Gebiet unter dem Graphen hat. Für x² auf [0, 2] beträgt der Mittelwert (8/3)/2 = 4/3. Für sin x auf [0, π] ist er 2/π ≈ 0.637. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung in OpenStax 5.3 ergänzt, dass eine stetige Funktion ihren Mittelwert tatsächlich an einer Stelle im Intervall annimmt.

Der Wagen ist ein erfundenes Beispiel, bei dem jedes Flächenstück genau 4/3 ergibt. Echte Geschwindigkeitsdaten liegen als Tabelle von Messwerten vor. Eine Riemann-Summe dieser Werte übernimmt dann die Rolle des Integrals.
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Zum Drehen ziehen. Zum Zoomen scrollen oder zwei Finger auseinander- oder zusammenziehen.

Geschwindigkeit t² − 4t + 3 auf [0, 4]. Die roten Rechtecke stehen für Rückwärtsbewegung. Das exakte Integral 4/3 ist die Ortsänderung.
  1. Wasser fließt 12 min lang mit 5 L/min hinein. Wie viele Liter sind das insgesamt?
  2. v(t) = t² − 4t + 3 auf [0, 4]. Ortsänderung in Metern (3 Nachkommastellen)?
  3. Dieselbe Bewegung: gesamte Weglänge in Metern?
  4. In welchem Zeitraum fährt der Wagen rückwärts?
    • 1 < t < 3
    • 0 < t < 1
    • 3 < t < 4
    • nie
  5. Ein fallengelassener Stein hat v(t) = −32t. Ortsänderung von t = 0 bis 2 (in ft)?
  6. Mittelwert von x² auf [0, 2] (3 Nachkommastellen)?
  7. Mittelwert von sin x auf [0, π] (3 Nachkommastellen)?
  8. Ein Tank enthält 100 L. Wasser fließt 5 min lang mit r(t) = 2t L/min ab. Wie viele Liter bleiben?
  9. Ein Tageskilometerzähler misst:
    • ∫ |v(t)| dt, die Weglänge
    • ∫ v(t) dt, die Ortsänderung
    • v(t) am Ende
    • die Durchschnittsgeschwindigkeit
  10. favg auf [a, b] ist gleich:
    • (1/(b − a)) ∫ab f(x) dx
    • (f(a) + f(b))/2
    • ∫ab f(x) dx
    • f((a + b)/2)
Das Wichtigste
  • Satz über die Gesamtänderung: ∫ab F′(x) dx = F(b) − F(a).
  • Bei der Ortsänderung ∫ v dt können sich Beiträge aufheben, bei der Weglänge ∫ |v| dt nicht.
  • Für die Weglänge teilst du an den Vorzeichenwechseln.
  • Mittelwert: (1/(b − a)) ∫ab f(x) dx.
Quellen zu diesem Kurs (6)
  • OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 5 Integration: 5.1 Approximating Areas (Archimedes and the method of exhaustion; sigma notation with Σ 3^i for i = 1 to 5 = 363; left and right endpoint approximations L4 = 1.75 and R4 = 3.75 for x² on [0, 2], L6 = 3.4375 and R6 = 5.6875 for x²/2 on [0, 3]; (x − 1)³ + 4 on [0, 2] approaching 8; Riemann sums named for the 19th-century mathematician Bernhard Riemann; upper and lower sums: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-1-approximating-areas)
  • 5.2 The Definite Integral (limit of Riemann sums, integrability of continuous functions, net signed area, properties: .../pages/5-2-the-definite-integral)
  • 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (Newton and Leibniz, among others, late 1600s and early 1700s; mean value theorem for integrals; parts 1 and 2: .../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus)
  • 5.4 Integration Formulas and the Net Change Theorem (.../pages/5-4-integration-formulas-and-the-net-change-theorem)
  • 4.10 Antiderivatives (.../pages/4-10-antiderivatives)
  • MacTutor, University of St Andrews: Archimedes (287 BC to 212 BC; area of a parabolic segment; π bounded with 96-sided inscribed and circumscribed polygons: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes) and Leibniz (first used the ∫ f(x) dx notation in a manuscript of 21 November 1675: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Leibniz).

Abgerufen: 2026-10-17