Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Zweiunddreißig Mittelpunktrechtecke unter x² von 0 bis 2 weichen noch um 0.0007 ab. Die Stammfunktion x³/3 liefert den exakten Wert 8/3 durch eine einzige Subtraktion: 8/3 − 0.

Zwei Ideen, ein Satz

Bisher erschienen Ableitungen und Integrale als getrennte Themen: Steigungen einerseits, Flächen andererseits. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besagt, dass beide Verfahren einander umkehren. OpenStax beschreibt, wie unter anderem Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz diesen Zusammenhang im späten 17. und frühen 18. Jahrhundert, also gegen Ende der 1600er und zu Beginn der 1700er Jahre, entdeckten und untersuchten. Der Satz hat zwei Teile. Der zweite macht die Berechnung von Integralen einfach.

Stammfunktionen

Eine Stammfunktion von f ist eine Funktion F, deren Ableitung f ist. Weil d/dx x³/3 = x² gilt, ist x³/3 eine Stammfunktion von x². Dasselbe gilt für x³/3 + 7 oder x³/3 minus eine beliebige Konstante, denn Konstanten werden beim Ableiten null. Die allgemeine Stammfunktion schreibt man als unbestimmtes Integral ∫ f(x) dx = F(x) + C. C steht für eine beliebige Konstante. Rückwärts gelesene Ableitungsregeln liefern eine kurze Tabelle: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C für n ≠ −1, ∫ 1/x dx = ln|x| + C, ∫ sin x dx = −cos x + C, ∫ cos x dx = sin x + C, ∫ e^x dx = e^x + C.

Teil 2: Integrale berechnen

Ist f auf [a, b] stetig und F eine beliebige Stammfunktion von f, dann gilt ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a). Die Differenz schreibt man oft als [F(x)]_a^b. Für ∫₀² x² dx nimmst du F(x) = x³/3: F(2) − F(0) = 8/3 − 0 = 8/3. Das ist genau der Wert, dem sich die Rechtecksummen näherten. Die Konstante C spielt keine Rolle, weil sie bei der Subtraktion wegfällt. Weitere Beispiele: ∫₁³ 2x dx = 9 − 1 = 8; ∫₀^π sin x dx = (−cos π) − (−cos 0) = 1 + 1 = 2; ∫₁⁴ √x dx = (2/3)(8 − 1) = 14/3.

Vergleiche den Aufwand. Das Labor unten braucht 64 Rechtecke, damit die Mittelpunktsumme nur noch um wenige Zehntausendstel von 8/3 abweicht. Genau trifft sie den Wert trotzdem nicht. Der Hauptsatz liefert den exakten Wert durch zweimaliges Einsetzen in x³/3. Eine Stammfunktion zu finden, statt endlos Rechtecke zu addieren: Deshalb ist dieser Satz so grundlegend.

Teil 1: die Integralfunktion

Teil 1 erklärt, warum Stammfunktionen auftauchen. Definiere die Integralfunktion A(x) = ∫_a^x f(t) dt, also die Fläche vom festen Anfang a bis zum beweglichen Ende x. Der Satz besagt A′(x) = f(x). Stell dir vor, x verschiebt sich um ein kleines h. Die Fläche wächst um einen schmalen Streifen der Breite h und der ungefähren Höhe f(x). Daher ist (A(x + h) − A(x))/h ungefähr f(x), im Grenzwert genau. Die Änderungsrate der Fläche entspricht der Höhe des Graphen am beweglichen Rand. Die Integralfunktion ist somit eine Stammfunktion, und daraus folgt Teil 2.