El teorema fundamental del cálculo

Treinta y dos rectángulos de punto medio bajo x² entre 0 y 2 aún tienen un error de 0.0007. La primitiva x³/3 da el valor exacto 8/3 con una sola resta: 8/3 − 0.

Dos ideas, un teorema

Hasta ahora, derivadas e integrales parecían temas separados: unas trataban de pendientes y otras de áreas. El teorema fundamental del cálculo afirma que son procesos inversos. OpenStax explica que Isaac Newton y Gottfried Wilhelm Leibniz, entre otros, descubrieron y estudiaron esta relación a finales de los años 1600 y principios de los 1700. El teorema tiene dos partes; la segunda es la que permite calcular integrales con facilidad.

Primitivas

Una primitiva de f es una función F cuya derivada es f. Como d/dx x³/3 = x², la función x³/3 es una primitiva de x². También lo es x³/3 + 7, o x³/3 menos cualquier constante, porque la derivada de una constante es cero. La primitiva general se escribe ∫ f(x) dx = F(x) + C, una integral indefinida, donde C representa cualquier constante. Leer las reglas de derivación al revés da una tabla breve: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C para n ≠ −1, ∫ 1/x dx = ln|x| + C, ∫ sin x dx = −cos x + C, ∫ cos x dx = sin x + C, ∫ e^x dx = e^x + C.

Parte 2: calcular integrales

Si f es continua en [a, b] y F es cualquier primitiva de f, entonces ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a). Esta diferencia suele escribirse [F(x)]_a^b. Para ∫₀² x² dx, toma F(x) = x³/3: F(2) − F(0) = 8/3 − 0 = 8/3, el valor al que se acercaban los rectángulos. La constante C no importa porque se cancela en la resta. Otros ejemplos: ∫₁³ 2x dx = 9 − 1 = 8; ∫₀^π sin x dx = (−cos π) − (−cos 0) = 1 + 1 = 2; ∫₁⁴ √x dx = (2/3)(8 − 1) = 14/3.

Compara el trabajo necesario. El laboratorio de abajo necesita 64 rectángulos para que la suma por puntos medios quede a unas pocas diezmilésimas de 8/3, y aun así nunca alcanza exactamente ese valor. El teorema lo obtiene evaluando x³/3 solo dos veces. Sustituir una suma interminable de rectángulos por la búsqueda de una primitiva explica por qué se llama fundamental.

Parte 1: la función área

La parte 1 explica por qué aparecen las primitivas. Define una función área A(x) = ∫_a^x f(t) dt: el área desde un inicio fijo a hasta un extremo móvil x. El teorema afirma que A′(x) = f(x). Imagínalo: cuando x avanza una cantidad pequeña h, el área aumenta en una franja delgada de ancho h y altura aproximada f(x), así que (A(x + h) − A(x))/h se aproxima a f(x), y coincide con ella en el límite. La tasa de crecimiento del área es la altura de la curva en el borde móvil. Por tanto, la función área es una primitiva y de ella se deduce la parte 2.