Le théorème fondamental du calcul intégral

Trente-deux rectangles aux points milieux sous x² entre 0 et 2 laissent encore une erreur de 0.0007. La primitive x³/3 donne la valeur exacte 8/3 en une soustraction : 8/3 − 0.

Deux idées, un théorème

Jusqu'ici, dérivées et intégrales semblaient distinctes : les unes parlent de pentes, les autres d'aires. Le théorème fondamental du calcul intégral dit que ce sont des opérations inverses. OpenStax attribue la découverte et l'étude de ce lien notamment à Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz, à la fin des années 1600 et au début des années 1700. Le théorème comporte deux parties ; c'est la seconde qui rend le calcul des intégrales facile.

Les primitives

Une primitive de f est une fonction F dont la dérivée est f. Puisque d/dx x³/3 = x², la fonction x³/3 est une primitive de x². Il en va de même de x³/3 + 7, ou de x³/3 moins n'importe quelle constante, car les constantes ont une dérivée nulle. L'ensemble des primitives s'écrit ∫ f(x) dx = F(x) + C, une intégrale indéfinie où C est une constante quelconque. Lire les règles de dérivation à l'envers donne une courte table : ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C pour n ≠ −1, ∫ 1/x dx = ln|x| + C, ∫ sin x dx = −cos x + C, ∫ cos x dx = sin x + C, ∫ e^x dx = e^x + C.

Partie 2 : calculer les intégrales

Si f est continue sur [a, b] et F une primitive de f, alors ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a). On note souvent cette différence [F(x)]_a^b. Pour ∫₀² x² dx, prends F(x) = x³/3 : F(2) − F(0) = 8/3 − 0 = 8/3, la valeur dont les rectangles se rapprochaient. La constante C n'intervient pas, car elle disparaît dans la soustraction. Autres exemples : ∫₁³ 2x dx = 9 − 1 = 8 ; ∫₀^π sin x dx = (−cos π) − (−cos 0) = 1 + 1 = 2 ; ∫₁⁴ √x dx = (2/3)(8 − 1) = 14/3.

Compare les efforts nécessaires. Le laboratoire ci-dessous a besoin de 64 rectangles pour approcher 8/3 à quelques dix-millièmes près, sans jamais l'atteindre exactement. Le théorème donne la valeur exacte en évaluant deux fois x³/3. Trouver une primitive plutôt qu'additionner indéfiniment des rectangles : voilà pourquoi ce théorème est dit fondamental.

Partie 1 : la fonction aire

La partie 1 explique le rôle des primitives. Définis la fonction aire A(x) = ∫_a^x f(t) dt, l'aire entre un départ fixe a et une extrémité mobile x. Le théorème dit A′(x) = f(x). Imagine : si x avance d'une petite quantité h, l'aire augmente d'une bande fine de largeur h et de hauteur voisine de f(x). Ainsi, (A(x + h) − A(x))/h est proche de f(x), et lui est exactement égal à la limite. Le taux de croissance de l'aire est la hauteur de la courbe au bord mobile. La fonction aire est donc une primitive, d'où la partie 2.