미적분의 기본 정리

0부터 2까지 x² 아래에 중점 직사각형 32개를 써도 0.0007만큼 어긋납니다. 역도함수 x³/3은 뺄셈 한 번 8/3 − 0으로 정확한 8/3을 줍니다.

두 생각, 한 정리

지금까지 미분과 적분은 서로 다른 주제처럼 보였습니다. 하나는 기울기에 관한 것이고, 다른 하나는 넓이에 관한 것이었습니다. 미적분의 기본 정리는 이 둘이 서로 거꾸로 된 과정, 다시 말해 역과정이라고 말합니다. OpenStax 교재는 미분과 적분의 이 관계를 1600년대 후반과 1700년대 초에 아이작 뉴턴과 고트프리트 빌헬름 라이프니츠 등이 발견하고 탐구했다고 적습니다. 이 정리는 두 부분으로 되어 있고, 그 가운데 적분을 쉽게 계산하게 해 주는 것은 둘째 부분입니다.

역도함수

f의 역도함수는 도함수가 f인 함수 F입니다. 예를 들어 x³/3의 도함수가 x²이므로 x³/3은 x²의 역도함수입니다. x³/3 + 7도, x³/3에 어떤 상수를 더하거나 뺀 것도 역도함수입니다. 상수는 미분하면 0이 되기 때문입니다. 이런 역도함수 전체를 나타내는 일반적인 역도함수는 부정적분 ∫ f(x) dx = F(x) + C로 쓰고, 여기서 C는 아무 상수나 될 수 있습니다. 미분 규칙을 거꾸로 읽으면 짧은 표가 나옵니다. n ≠ −1이면 ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, ∫ 1/x dx = ln|x| + C, ∫ sin x dx = −cos x + C, ∫ cos x dx = sin x + C, ∫ e^x dx = e^x + C입니다.

2부: 정적분 계산

기본 정리의 2부는 이렇습니다. f가 [a, b]에서 연속이고 F가 f의 역도함수 가운데 아무것이나 하나라면 ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a)입니다. 이 차를 흔히 [F(x)]_a^b로 씁니다. ∫₀² x² dx이면 F(x) = x³/3을 써서 F(2) − F(0) = 8/3 − 0 = 8/3이고, 직사각형들이 조금씩 다가가던 바로 그 값입니다. 상수 C는 F(b)에서 F(a)를 빼는 과정에서 사라지므로 신경 쓰지 않아도 됩니다. 다른 예를 보면 ∫₁³ 2x dx = 9 − 1 = 8, ∫₀^π sin x dx = (−cos π) − (−cos 0) = 1 + 1 = 2, ∫₁⁴ √x dx = (2/3)(8 − 1) = 14/3입니다.

두 방법에 드는 수고를 비교해 보세요. 아래 실험실에서는 직사각형 64개를 써야 중점 합이 8/3과 만분의 몇 이내로 가까워지고, 그래도 정확히 맞지는 않습니다. 반면 기본 정리는 x³/3의 값을 두 번 구하는 것만으로 정확한 값을 줍니다. 끝없이 직사각형을 더하는 대신 역도함수 하나를 찾는 이 맞바꿈 때문에 이 정리에 「기본」이라는 이름이 붙었습니다.

1부: 넓이 함수

1부는 왜 역도함수가 나오는지 설명합니다. 먼저 넓이 함수 A(x) = ∫_a^x f(t) dt를 정합니다. 이 함수는 고정된 시작점 a부터 움직이는 끝 x까지 곡선 아래의 넓이입니다. 정리는 A′(x) = f(x)라고 말합니다. 이것을 그림으로 생각해 보세요. x가 h만큼 조금 움직이면 넓이는 폭 h, 높이 약 f(x)인 가는 띠만큼 늘어나므로 (A(x + h) − A(x))/h는 대략 f(x)이고 극한에서 정확히 f(x)가 됩니다. 정리하면 넓이가 늘어나는 빠르기는 움직이는 가장자리에서 잰 곡선의 높이와 같습니다. 그래서 넓이 함수는 역도함수이고, 2부가 여기서 나옵니다.