정적분

0부터 3까지 4 − x²의 정적분은 3입니다. 축 위의 16/3에서 축 아래로 내려간 7/3을 뺀 값입니다.

합의 극한

a부터 b까지 f의 정적분은 조각 수가 한없이 많아질 때 f의 리만 합이 다가가는 극한입니다. ∫_a^b f(x) dx = lim_n→∞ Σ_i=1ⁿ f(x_i*)Δx이고, 단, 이 극한이 존재해야 하고, 표본점을 어떻게 고르든 그 값이 같아야 합니다. 이 극한이 존재할 때 f는 [a, b]에서 적분 가능하다고 합니다. OpenStax 교재는 닫힌 구간에서 연속인 함수는 모두 적분 가능하다고 적습니다. 그러니 이 과정에서 다루는 함수들에서는 이 극한이 언제나 존재합니다.

적분 기호에는 그림이 그대로 담겨 있습니다. 길게 늘인 S 모양의 기호 ∫는 합(sum)의 첫 글자를 늘인 것으로 라이프니츠가 썼습니다. 수 a와 b는 적분 구간의 끝이고, f(x)는 피적분함수입니다. dx는 한없이 가는 직사각형의 폭을 나타내며, 어떤 변수에 대해 더하는지도 알려 줍니다. 문자 x 자체는 이름만 빌린 변수(dummy variable)라서 다른 문자로 바꿔도 되고, ∫₀² x² dx와 ∫₀² t² dt는 같은 수 8/3입니다.

부호 있는 넓이

f가 x축 아래로 내려가면 그 부분에 세운 직사각형은 높이가 음수가 되고, 그래서 그 넓이는 더하는 대신 빼게 됩니다. 정적분은 부호 있는 넓이, 다시 말해 축 위 넓이에서 축 아래 넓이를 뺀 값을 잽니다. 예를 들어 [0, 3]에서 f(x) = 4 − x²의 곡선은 [0, 2]에서 축 위에 있고 넓이가 16/3, [2, 3]에서 축 아래에 있고 넓이가 7/3입니다. 그래서 ∫₀³ (4 − x²) dx = 16/3 − 7/3 = 3입니다. 부호와 상관없이 전체 넓이를 구하고 싶다면 f 대신 |f|를 적분해야 합니다. 이 예에서는 그 값이 16/3 + 7/3 = 23/3입니다. 어느 쪽이 필요한지는 물음에 따라 다릅니다. 순변화량을 묻는지, 아니면 칠할 페인트의 양처럼 전체 넓이를 묻는지에 따라 정합니다.

부호 있는 넓이를 생각하면 쓸모 있는 대칭 하나도 설명됩니다. f가 기함수, 다시 말해 x³이나 sin x처럼 f(−x) = −f(x)인 함수라면 y축 왼쪽 넓이가 오른쪽 넓이를 축 아래로 뒤집어 놓은 모양이라 ∫_−a^a f(x) dx = 0입니다. 한편 x² 같은 우함수는 y축 양쪽의 두 부분이 똑같아서 [−a, a]의 적분이 [0, a]의 적분의 두 배입니다. 그러니 계산하기 전에 대칭이 있는지 먼저 알아보면, 계산 하나를 통째로 아낄 수 있습니다.

성질과 기하

정적분의 정의에서 몇 가지 성질이 바로 나옵니다. 먼저, 한 점 위에서의 적분은 0입니다. ∫_a^a f dx = 0입니다. 위끝과 아래끝을 바꾸면 부호가 바뀝니다. ∫_b^a f dx = −∫_a^b f dx입니다. 그리고 서로 이웃한 두 구간의 적분은 더할 수 있습니다. ∫_a^b + ∫_b^c = ∫_a^c입니다. 곱해진 상수는 적분 밖으로 나오고, 여러 함수를 더한 합의 적분은 각 적분의 합과 같습니다. 적분하는 영역이 익숙한 도형 모양이면, 기하만으로 바로 답이 나옵니다. ∫₀³ 2x dx는 밑변 3, 높이 6인 삼각형이라 9, ∫₀⁴ 3 dx는 4 × 3 직사각형이라 12, ∫₋₁¹ √(1 − x²) dx는 단위원의 절반이라 π/2입니다.