리만 합과 중점 합

직사각형 네 개만으로도 [0, 2]에서 x²의 중점 합은 2.625로, 정확한 값 8/3과 0.042밖에 차이가 나지 않습니다.

조각마다 아무 점이나

높이를 왼쪽 끝이나 오른쪽 끝에서 따오는 것은 여러 선택지 가운데 두 가지일 뿐입니다. 일반적으로는 i번째 조각 안에서 아무 점 x_i*나 하나 골라, 그 점의 함숫값 f(x_i*)를 직사각형의 높이로 씁니다. 그 합 Σ_i=1ⁿ f(x_i*)Δx를 리만 합이라고 합니다. 이 이름은 OpenStax 교재가 적었듯 이 생각을 발전시킨 19세기 수학자 베른하르트 리만의 이름을 딴 것입니다. 앞에서 본 왼쪽 합과 오른쪽 합도 리만 합이고, 높이를 조각 한가운데에서 따오는 중점 합 M_n도 리만 합입니다.

중점 합은 대개 두 끝점 합 어느 쪽보다도 훨씬 정확합니다. 예를 들어 [0, 2]에서 x²이고 n = 4이면 조각의 중점은 0.25, 0.75, 1.25, 1.75입니다. 이 수들의 제곱은 0.0625, 0.5625, 1.5625, 3.0625이고 합은 5.25이며, Δx = 0.5를 곱하면 M₄ = 2.625입니다. 앞의 값과 비교해 보면 L₄ = 1.75와 R₄ = 3.75는 각각 약 0.92, 1.08만큼 어긋났습니다. 그 이유는 그래프를 보면 알 수 있습니다. 각 조각에서 직사각형은 한쪽에서는 곡선 아래의 작은 조각을 잘라 내고, 다른 쪽에서는 비슷한 크기의 조각을 덧붙입니다. 그래서 두 조각이 서로 거의 상쇄됩니다.

위 표는 소수 넷째 자리로 반올림한 값으로, [0, 2]에서 x²의 근사가 어떤 규칙을 따르는지 보여 줍니다. 표를 보면 n을 두 배로 늘릴 때마다 끝점 합의 오차는 대략 절반이 되는데, 중점 합의 오차는 약 4분의 1로 줄어듭니다. 중점 합의 오차는 차례로 0.042, 0.010, 0.0026, 0.00065입니다. 세 열은 모두 같은 수 2.6666…으로 가고, 다음 단원의 정적분은 바로 그 공통 극한으로 정의됩니다.

세 합 사이에는 바로 알 수 있는 간단한 관계가 있습니다. 왼쪽 합과 오른쪽 합의 평균 (L_n + R_n)/2는 사다리꼴 공식입니다. 이 공식은 각 직사각형을 곡선의 두 끝을 잇는 사다리꼴로 바꿔 넣습니다. [0, 2]에서 x², n = 4이면 (1.75 + 3.75)/2 = 2.75로, 실제 값보다 약 0.083만큼 큽니다. 이 오차는 중점 합 오차의 대략 두 배이고, 방향은 반대쪽입니다. 아래로 볼록한 곡선에서 사다리꼴은 넘치고 중점 직사각형은 그 절반쯤 모자라는 이 규칙은 매끄러운 곡선 여럿에서 성립하고, 다음 과정에서 배우는 심프슨 공식의 출발점이 됩니다.

컴퓨터가 적분을 계산할 때도 바로 이 합에 기댑니다. 다루기 쉬운 역도함수가 없거나 측정한 자료로만 알려진 함수이면 프로그램은 중점 조각이나 사다리꼴 조각을 수천 개 더해서 답을 냅니다. 아래 실험실은 여러분이 직사각형을 눈으로 볼 수 있도록 n을 64까지만 늘릴 수 있게 했지만, 표의 규칙은 그 뒤로도 이어집니다. n을 두 배로 할 때마다 중점 합 오차가 약 4분의 1로 줄어듭니다.

상합과 하합

반드시 실제보다 크게 어림하고 싶다면, 조각마다 f가 가장 큰 곳을 x_i*로 고르면 됩니다. 이렇게 만든 합을 상합(upper sum)이라고 합니다. 반대로 f가 가장 작은 곳을 고르면 반드시 실제보다 작게 어림하는 하합(lower sum)이 됩니다. 실제 넓이는 언제나 둘 사이에 있습니다. 구간에서 증가만 하거나 감소만 하는 함수는 가장 큰 값과 작은 값이 끝점에 있으므로, 상합과 하합은 순서만 다를 뿐 오른쪽 합과 왼쪽 합 그 자체입니다. OpenStax 교재의 곡선 (x − 1)³ + 4는 [0, 2]에서 증가하고, L₄ = 7.5, R₄ = 8.5이며, n이 커지면 둘 다 8로 다가갑니다.