Sumas de Riemann y regla del punto medio

Con solo cuatro rectángulos, la suma por puntos medios para x² en [0, 2] es 2.625: ya está a menos de 0.042 del valor exacto, 8/3.

Cualquier punto de cada subintervalo

Los extremos izquierdos y derechos son solo dos de muchas opciones. En general, elige cualquier punto x_i* del subintervalo i y usa f(x_i*) como altura. La suma Σ_i=1ⁿ f(x_i*)Δx se llama suma de Riemann. Como señala OpenStax, lleva el nombre del matemático del siglo 19 Bernhard Riemann, quien desarrolló la idea. Las sumas izquierdas y derechas son sumas de Riemann; también lo es la suma por puntos medios M_n, que toma la altura en el centro de cada subintervalo.

La suma por puntos medios suele ser mucho mejor que cualquiera de las sumas por extremos. Para x² en [0, 2] con n = 4, los puntos medios son 0.25, 0.75, 1.25 y 1.75. Sus cuadrados son 0.0625, 0.5625, 1.5625 y 3.0625, cuya suma es 5.25; al multiplicar por Δx = 0.5 resulta M₄ = 2.625. Compara: L₄ = 1.75 y R₄ = 3.75 tenían errores de aproximadamente 0.92 y 1.08. La gráfica explica por qué. En cada subintervalo el rectángulo deja fuera una pequeña franja de la curva por un lado y añade otra parecida por el otro; ambas casi se compensan.

La tabla anterior, redondeada a cuatro cifras decimales, muestra el patrón para x² en [0, 2]. Cada vez que n se duplica, los errores por extremos se reducen aproximadamente a la mitad, mientras que el error por puntos medios queda en cerca de la cuarta parte: 0.042, 0.010, 0.0026, 0.00065. Las tres columnas se acercan al mismo número, 2.6666…, y la integral definida de la siguiente unidad se define precisamente como ese límite común.

Hay una relación sencilla entre las tres sumas. El promedio de las sumas izquierda y derecha, (L_n + R_n)/2, es la regla del trapecio: sustituye cada rectángulo por un trapecio que une los dos extremos de la curva. Para x² en [0, 2] con n = 4 da (1.75 + 3.75)/2 = 2.75, un exceso de aproximadamente 0.083, casi el doble del error del punto medio y del lado opuesto. Este patrón, en el que los trapecios sobrestiman una curva cóncava hacia arriba y los rectángulos de punto medio la subestiman con un error cercano a la mitad, se cumple para muchas curvas suaves y sirve de punto de partida para la regla de Simpson en cursos posteriores.

Las computadoras utilizan precisamente estas sumas. Cuando una función no tiene una primitiva fácil de hallar o solo se conoce a partir de mediciones, un programa suma miles de rectángulos por puntos medios o trapecios. El laboratorio de abajo limita n a 64 para que todavía se distingan los rectángulos, pero el patrón de la tabla continúa: cada duplicación reduce el error del punto medio unas cuatro veces.

Sumas superiores e inferiores

Si quieres garantizar una sobrestimación, elige x_i* donde f alcanza su mayor valor en cada subintervalo: el resultado es una suma superior. Si eliges donde f alcanza su menor valor, obtienes una suma inferior, que garantiza una subestimación. El área exacta siempre queda entre ambas. Para una función que solo crece o solo decrece en el intervalo, el mayor y el menor valor están en los extremos, así que las sumas superior e inferior son las sumas derecha e izquierda en uno u otro orden. La curva de OpenStax (x − 1)³ + 4 en [0, 2] es creciente, con L₄ = 7.5 y R₄ = 8.5; ambas se acercan a 8 al aumentar n.