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Aproximar áreas con rectángulos

Cuatro rectángulos bajo y = x² entre 0 y 2 dan 1.75 si usas los extremos izquierdos y 3.75 si usas los derechos. El área exacta, 8/3, queda entre ambos valores.

Figuras de área conocida

Los rectángulos, triángulos y trapecios tienen fórmulas de área; una región con borde curvo no. OpenStax comienza el capítulo de integración con Arquímedes, quien llenaba regiones curvas con figuras cada vez más pequeñas de área conocida y sumaba sus áreas. Hoy llamamos a ese procedimiento método de agotamiento. El cálculo hace lo mismo con rectángulos. Divide el intervalo [a, b] en n partes de igual ancho Δx = (b − a)/n, coloca un rectángulo sobre cada parte cuya altura se tome de la curva y suma sus áreas. Cuantos más rectángulos haya, más estrechos serán y mejor se ajustarán a la curva.

Notación sigma

Para sumar muchos términos conviene una notación breve. La letra griega sigma mayúscula permite escribir una suma de forma compacta: Σi=120 i significa 1 + 2 + ⋯ + 20. La letra i es el índice; comienza en el valor bajo sigma y termina en el valor de arriba. El primer ejemplo de OpenStax es Σi=15 3i = 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 363. Dos fórmulas ahorrarán trabajo más adelante: Σi=1n i = n(n + 1)/2 y Σi=1n i² = n(n + 1)(2n + 1)/6. Así, 1 + 2 + ⋯ + 20 = 20 × 21/2 = 210.

Extremos izquierdos y derechos

Cada rectángulo necesita una altura. La opción más sencilla es tomar el valor de la curva en un extremo de su subintervalo. Con los extremos izquierdos obtenemos la aproximación Ln = Σ f(xi−1)Δx; con los derechos, Rn = Σ f(xi)Δx. Para f(x) = x² en [0, 2] con n = 4, Δx = 0.5. Las alturas izquierdas son f(0), f(0.5), f(1), f(1.5) = 0, 0.25, 1, 2.25, así que L4 = 0.5 × 3.5 = 1.75. Las alturas derechas son 0.25, 1, 2.25, 4, por lo que R4 = 0.5 × 7.5 = 3.75. Son los valores que presenta OpenStax.

L4 para y = x² en [0, 2]: rectángulos de ancho 0.5 con alturas izquierdas 0, 0.25, 1 y 2.25. Su suma, 1.75, no incluye el área que queda por encima de ellos.

Como x² es creciente en [0, 2], cada rectángulo izquierdo queda bajo la curva y cada rectángulo derecho sobresale de ella. Por eso L4 subestima el área y R4 la sobrestima; el área exacta está entre 1.75 y 3.75. Para una función decreciente se intercambian los papeles. Al duplicar n a 8 obtenemos L8 = 2.1875 y R8 = 3.1875, un intervalo más estrecho; con n = 32 va de 2.54 a 2.79. El área exacta, que la unidad 4 calcula en una sola línea, es 8/3 ≈ 2.667.

ContextoArquímedes, en el siglo tercero a. C., usó este tipo de razonamiento para hallar el área de un segmento parabólico y acotar π entre dos polígonos. No contaba con un símbolo general de suma o de límite; cada resultado requería una demostración geométrica distinta. La idea de sumar franjas delgadas tuvo que esperar unos dos mil años hasta disponer de una notación que la convirtiera en un procedimiento habitual.
Escribe la partición antes de empezar a sumar. Para n = 4 en [0, 2], los puntos de división son x0 = 0, x1 = 0.5, x2 = 1, x3 = 1.5 y x4 = 2. Las sumas izquierdas usan de x0 a x3; las derechas, de x1 a x4.
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y = x² en [0, 2] con n = 4 rectángulos izquierdos. Cambia a Derecha, pulsa Duplicar n varias veces y observa cómo Ln y Rn se acercan a 8/3 ≈ 2.667.
  1. Σi=120 i = ?
  2. Σi=15 3i = ?
  3. Σi=36 2i = ?
  4. Σi=110 i² = ?
  5. [1, 3] dividido en n = 8 partes iguales. Δx = ?
  6. ¿Cuánto vale L4 para x² en [0, 2]?
  7. ¿Cuánto vale R4 para x² en [0, 2]?
  8. ¿Cuánto vale L6 para x²/2 en [0, 3] (figura 5.5 de OpenStax)?
  9. ¿Cuánto vale R6 para x²/2 en [0, 3]?
  10. f es creciente en [a, b]. La suma por extremos izquierdos es:
    • una subestimación
    • una sobrestimación
    • exacta
    • negativa
Ideas clave
  • Δx = (b − a)/n; n rectángulos de ancho Δx.
  • Notación Σ: Σi=1n i = n(n + 1)/2, Σ i² = n(n + 1)(2n + 1)/6.
  • Ln usa extremos izquierdos; Rn, derechos.
  • Para una f creciente, Ln < área < Rn; más rectángulos reducen la diferencia.
Fuentes de este curso (6)
  • OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 5 Integration: 5.1 Approximating Areas (Archimedes and the method of exhaustion; sigma notation with Σ 3^i for i = 1 to 5 = 363; left and right endpoint approximations L4 = 1.75 and R4 = 3.75 for x² on [0, 2], L6 = 3.4375 and R6 = 5.6875 for x²/2 on [0, 3]; (x − 1)³ + 4 on [0, 2] approaching 8; Riemann sums named for the 19th-century mathematician Bernhard Riemann; upper and lower sums: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-1-approximating-areas)
  • 5.2 The Definite Integral (limit of Riemann sums, integrability of continuous functions, net signed area, properties: .../pages/5-2-the-definite-integral)
  • 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (Newton and Leibniz, among others, late 1600s and early 1700s; mean value theorem for integrals; parts 1 and 2: .../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus)
  • 5.4 Integration Formulas and the Net Change Theorem (.../pages/5-4-integration-formulas-and-the-net-change-theorem)
  • 4.10 Antiderivatives (.../pages/4-10-antiderivatives)
  • MacTutor, University of St Andrews: Archimedes (287 BC to 212 BC; area of a parabolic segment; π bounded with 96-sided inscribed and circumscribed polygons: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes) and Leibniz (first used the ∫ f(x) dx notation in a manuscript of 21 November 1675: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Leibniz).

Fecha de consulta: 2026-10-17