edubun
Português
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoРусскийBahasa Indonesia日本語
Início›Cálculo›Integrais

Aproximando áreas com retângulos

Quatro retângulos sob y = x² de 0 a 2 fornecem 1.75 usando as extremidades esquerdas e 3.75 usando as direitas. A área real, 8/3, fica entre esses valores.

Figuras com área conhecida

Retângulos, triângulos e trapézios têm fórmulas de área; uma região com borda curva não tem uma fórmula imediata. O OpenStax abre o capítulo de integração com Arquimedes, que preenchia regiões curvas com figuras cada vez menores de área conhecida e somava suas áreas, no chamado método da exaustão. O cálculo faz o mesmo com retângulos. Divida [a, b] em n partes de largura igual Δx = (b − a)/n, coloque em cada parte um retângulo cuja altura vem da curva e some as áreas. Retângulos mais numerosos e estreitos se ajustam melhor à curva.

Notação de somatório

Somar muitos termos pede uma notação curta. A letra grega maiúscula sigma escreve uma soma de forma compacta: Σi=120 i significa 1 + 2 + ⋯ + 20. A letra i é o índice; começa no valor abaixo do sigma e termina no valor acima. O primeiro exemplo do OpenStax é Σi=15 3i = 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 363. Duas fórmulas economizam tempo depois: Σi=1n i = n(n + 1)/2 e Σi=1n i² = n(n + 1)(2n + 1)/6. Assim, 1 + 2 + ⋯ + 20 = 20 × 21/2 = 210.

Extremidades esquerdas e direitas

Cada retângulo precisa de uma altura, e a escolha mais simples é o valor da curva em uma extremidade da parte. Usar as esquerdas dá a aproximação Ln = Σ f(xi−1)Δx; usar as direitas dá Rn = Σ f(xi)Δx. Para f(x) = x² em [0, 2] com n = 4, Δx = 0.5. As alturas à esquerda são f(0), f(0.5), f(1), f(1.5) = 0, 0.25, 1, 2.25, então L4 = 0.5 × 3.5 = 1.75. As alturas à direita são 0.25, 1, 2.25, 4, então R4 = 0.5 × 7.5 = 3.75. Esses são os valores do OpenStax.

L4 para y = x² em [0, 2]: retângulos de largura 0.5 com alturas à esquerda 0, 0.25, 1 e 2.25. A soma 1.75 não inclui a área acima deles.

Como x² é crescente em [0, 2], cada retângulo à esquerda fica sob a curva e cada retângulo à direita passa acima dela. Assim, L4 subestima e R4 superestima a área, cujo valor real fica entre 1.75 e 3.75. Para uma função decrescente, os papéis se invertem. Dobrar n para 8 dá L8 = 2.1875 e R8 = 3.1875, um intervalo mais estreito; em n = 32, ele vai de 2.54 a 2.79. A área exata, calculada em uma linha na unidade 4, é 8/3 ≈ 2.667.

ContextoArquimedes, no século 3 a.C., usou esse tipo de argumento para encontrar a área de um segmento parabólico e limitar π entre dois polígonos. Ele não dispunha de um símbolo geral para soma ou limite; cada resultado exigia uma demonstração geométrica própria. A ideia de somar faixas estreitas esperou cerca de dois mil anos pela notação que tornaria isso rotineiro.
Escreva a partição antes de somar. Para n = 4 em [0, 2], os pontos de corte são x0 = 0, x1 = 0.5, x2 = 1, x3 = 1.5 e x4 = 2. Somas à esquerda usam de x0 a x3; somas à direita, de x1 a x4.
Carregando

Arraste para girar. Use a rolagem ou afaste e aproxime dois dedos para ajustar o zoom.

y = x² em [0, 2] com n = 4 retângulos à esquerda. Mude para Direita, pressione Dobrar n algumas vezes e veja Ln e Rn se aproximarem de 8/3 ≈ 2.667.
  1. Σi=120 i = ?
  2. Σi=15 3i = ?
  3. Σi=36 2i = ?
  4. Σi=110 i² = ?
  5. [1, 3] dividido em n = 8 partes iguais. Δx = ?
  6. L4 para x² em [0, 2]?
  7. R4 para x² em [0, 2]?
  8. L6 para x²/2 em [0, 3] (figura 5.5 do OpenStax)?
  9. R6 para x²/2 em [0, 3]?
  10. f é crescente em [a, b]. A soma pelas extremidades esquerdas é:
    • uma subestimativa
    • uma superestimativa
    • exata
    • negativa
Pontos-chave
  • Δx = (b − a)/n; n retângulos de largura Δx.
  • Notação de somatório: Σi=1n i = n(n + 1)/2, Σ i² = n(n + 1)(2n + 1)/6.
  • Ln usa extremidades esquerdas; Rn, direitas.
  • Para f crescente, Ln < área < Rn; mais retângulos diminuem a diferença.
Fontes deste curso (6)
  • OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 5 Integration: 5.1 Approximating Areas (Archimedes and the method of exhaustion; sigma notation with Σ 3^i for i = 1 to 5 = 363; left and right endpoint approximations L4 = 1.75 and R4 = 3.75 for x² on [0, 2], L6 = 3.4375 and R6 = 5.6875 for x²/2 on [0, 3]; (x − 1)³ + 4 on [0, 2] approaching 8; Riemann sums named for the 19th-century mathematician Bernhard Riemann; upper and lower sums: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-1-approximating-areas)
  • 5.2 The Definite Integral (limit of Riemann sums, integrability of continuous functions, net signed area, properties: .../pages/5-2-the-definite-integral)
  • 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (Newton and Leibniz, among others, late 1600s and early 1700s; mean value theorem for integrals; parts 1 and 2: .../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus)
  • 5.4 Integration Formulas and the Net Change Theorem (.../pages/5-4-integration-formulas-and-the-net-change-theorem)
  • 4.10 Antiderivatives (.../pages/4-10-antiderivatives)
  • MacTutor, University of St Andrews: Archimedes (287 BC to 212 BC; area of a parabolic segment; π bounded with 96-sided inscribed and circumscribed polygons: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes) and Leibniz (first used the ∫ f(x) dx notation in a manuscript of 21 November 1675: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Leibniz).

Data de verificação: 2026-10-17