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Approssimare l'area con rettangoli

Quattro rettangoli sotto y = x² da 0 a 2 danno 1.75 usando gli estremi sinistri e 3.75 usando quelli destri. L'area esatta, 8/3, sta nel mezzo.

Figure di area nota

Rettangoli, triangoli e trapezi hanno formule per l'area; una regione dal bordo curvo no. OpenStax apre il capitolo sull'integrazione con Archimede, che riempiva regioni curve con figure di area nota sempre più piccole e ne sommava le aree: oggi lo chiamiamo metodo di esaustione. Il calcolo integrale fa lo stesso con i rettangoli. Dividi l'intervallo [a, b] in n parti di uguale ampiezza Δx = (b − a)/n, costruisci su ciascuna un rettangolo con altezza ricavata dalla curva e somma le aree. Rettangoli più numerosi e sottili si adattano meglio alla curva.

La notazione sigma

Per sommare molti termini serve una notazione breve. La lettera greca sigma maiuscola esprime una somma in modo compatto: Σi=120 i significa 1 + 2 + ⋯ + 20. La lettera i è l'indice: parte dal valore sotto la sigma e arriva a quello sopra. Il primo esempio di OpenStax è Σi=15 3i = 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 363. Due formule faranno risparmiare tempo: Σi=1n i = n(n + 1)/2 e Σi=1n i² = n(n + 1)(2n + 1)/6. Quindi 1 + 2 + ⋯ + 20 = 20 × 21/2 = 210.

Estremi sinistri e destri

Ogni rettangolo ha bisogno di un'altezza. La scelta più semplice è il valore della curva a un estremo del sottointervallo. Con gli estremi sinistri si ottiene l'approssimazione Ln = Σ f(xi−1)Δx; con quelli destri Rn = Σ f(xi)Δx. Per f(x) = x² su [0, 2], con n = 4, Δx = 0.5. Le altezze sinistre sono f(0), f(0.5), f(1), f(1.5) = 0, 0.25, 1, 2.25, perciò L4 = 0.5 × 3.5 = 1.75. Le altezze destre sono 0.25, 1, 2.25, 4, perciò R4 = 0.5 × 7.5 = 3.75. Sono i valori riportati da OpenStax.

L4 per y = x² su [0, 2]: rettangoli di ampiezza 0.5 con altezze agli estremi sinistri pari a 0, 0.25, 1 e 2.25. La somma, 1.75, non comprende l'area al di sopra dei rettangoli.

Poiché x² è crescente su [0, 2], ogni rettangolo sinistro resta sotto la curva e ogni rettangolo destro la supera. Quindi L4 sottostima e R4 sovrastima l'area, che è compresa fra 1.75 e 3.75. Per una funzione decrescente i ruoli si invertono. Raddoppiando n a 8 si ottengono L8 = 2.1875 e R8 = 3.1875, che racchiudono l'area in un intervallo più stretto; per n = 32 l'intervallo va da 2.54 a 2.79. L'area esatta, che l'unità 4 calcola in una riga, è 8/3 ≈ 2.667.

ContestoArchimede, nel terzo secolo a.C., usò ragionamenti di questo tipo per trovare l'area di un segmento parabolico e racchiudere π fra due poligoni. Non disponeva di un simbolo generale per la somma o il limite: ogni risultato richiedeva una dimostrazione geometrica distinta. L'idea di sommare strisce sottili dovette aspettare circa duemila anni prima di avere una notazione che la rendesse abituale.
Scrivi la partizione prima di sommare. Per n = 4 su [0, 2] i punti di suddivisione sono x0 = 0, x1 = 0.5, x2 = 1, x3 = 1.5 e x4 = 2. Le somme sinistre usano da x0 a x3, quelle destre da x1 a x4.
Caricamento

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y = x² su [0, 2] con n = 4 rettangoli sinistri. Passa a Destra, poi premi Raddoppia n alcune volte e osserva Ln e Rn avvicinarsi a 8/3 ≈ 2.667.
  1. Σi=120 i = ?
  2. Σi=15 3i = ?
  3. Σi=36 2i = ?
  4. Σi=110 i² = ?
  5. [1, 3] diviso in n = 8 parti uguali. Δx = ?
  6. L4 per x² su [0, 2]?
  7. R4 per x² su [0, 2]?
  8. L6 per x²/2 su [0, 3] (figura 5.5 di OpenStax)?
  9. R6 per x²/2 su [0, 3]?
  10. f è crescente su [a, b]. La somma agli estremi sinistri è:
    • una sottostima
    • una sovrastima
    • esatta
    • negativa
Punti chiave
  • Δx = (b − a)/n; n rettangoli di ampiezza Δx.
  • Notazione Σ: Σi=1n i = n(n + 1)/2, Σ i² = n(n + 1)(2n + 1)/6.
  • Ln usa gli estremi sinistri, Rn quelli destri.
  • Per f crescente, Ln < area < Rn; aumentando i rettangoli si riduce lo scarto.
Fonti di questo corso (6)
  • OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 5 Integration: 5.1 Approximating Areas (Archimedes and the method of exhaustion; sigma notation with Σ 3^i for i = 1 to 5 = 363; left and right endpoint approximations L4 = 1.75 and R4 = 3.75 for x² on [0, 2], L6 = 3.4375 and R6 = 5.6875 for x²/2 on [0, 3]; (x − 1)³ + 4 on [0, 2] approaching 8; Riemann sums named for the 19th-century mathematician Bernhard Riemann; upper and lower sums: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-1-approximating-areas)
  • 5.2 The Definite Integral (limit of Riemann sums, integrability of continuous functions, net signed area, properties: .../pages/5-2-the-definite-integral)
  • 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (Newton and Leibniz, among others, late 1600s and early 1700s; mean value theorem for integrals; parts 1 and 2: .../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus)
  • 5.4 Integration Formulas and the Net Change Theorem (.../pages/5-4-integration-formulas-and-the-net-change-theorem)
  • 4.10 Antiderivatives (.../pages/4-10-antiderivatives)
  • MacTutor, University of St Andrews: Archimedes (287 BC to 212 BC; area of a parabolic segment; π bounded with 96-sided inscribed and circumscribed polygons: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes) and Leibniz (first used the ∫ f(x) dx notation in a manuscript of 21 November 1675: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Leibniz).

Consultato il: 2026-10-17