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Approcher une aire avec des rectangles

Quatre rectangles sous y = x² entre 0 et 2 donnent 1.75 en prenant les extrémités gauches, et 3.75 en prenant les droites. L'aire exacte, 8/3, se trouve entre les deux.

Des formes dont on connaît l'aire

Rectangles, triangles et trapèzes ont des formules d'aire ; pas une région au bord courbe. OpenStax ouvre le chapitre sur l'intégration avec Archimède, qui remplissait des régions courbes de formes de plus en plus petites, d'aires connues, puis les additionnait. C'est la méthode d'exhaustion. Le calcul intégral fait de même avec des rectangles. Découpe [a, b] en n morceaux de largeur égale Δx = (b − a)/n, place un rectangle sur chacun, avec une hauteur donnée par la courbe, puis additionne leurs aires. Plus les rectangles sont nombreux et fins, mieux ils épousent la courbe.

La notation sigma

Additionner beaucoup de termes demande une notation courte. La lettre grecque sigma majuscule écrit une somme de façon compacte : Σi=120 i signifie 1 + 2 + ⋯ + 20. La lettre i est l'indice ; elle part de la valeur sous le sigma et s'arrête à celle du dessus. Le premier exemple d'OpenStax est Σi=15 3i = 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 363. Deux formules feront gagner du temps : Σi=1n i = n(n + 1)/2 et Σi=1n i² = n(n + 1)(2n + 1)/6. Ainsi, 1 + 2 + ⋯ + 20 = 20 × 21/2 = 210.

Extrémités gauches et droites

Il faut choisir la hauteur de chaque rectangle. Le plus simple est de prendre la valeur de la courbe à une extrémité du morceau. À gauche, on obtient Ln = Σ f(xi−1)Δx ; à droite, Rn = Σ f(xi)Δx. Pour f(x) = x² sur [0, 2] avec n = 4, Δx = 0.5. Les hauteurs à gauche sont f(0), f(0.5), f(1), f(1.5) = 0, 0.25, 1, 2.25, donc L4 = 0.5 × 3.5 = 1.75. À droite, les hauteurs sont 0.25, 1, 2.25, 4, donc R4 = 0.5 × 7.5 = 3.75. Ce sont les valeurs d'OpenStax.

L4 pour y = x² sur [0, 2] : rectangles de largeur 0.5 et de hauteurs à gauche 0, 0.25, 1 et 2.25. Leur aire totale, 1.75, ne couvre pas l'aire située au-dessus.

Comme x² est croissante sur [0, 2], chaque rectangle à gauche reste sous la courbe et chaque rectangle à droite la dépasse. L4 sous-estime donc l'aire et R4 la surestime : l'aire exacte est entre 1.75 et 3.75. Pour une fonction décroissante, les rôles s'inversent. En doublant n à 8, on obtient L8 = 2.1875 et R8 = 3.1875, un encadrement plus serré ; à n = 32, il va de 2.54 à 2.79. L'aire exacte, calculée en une ligne dans l'unité 4, vaut 8/3 ≈ 2.667.

ContexteAu troisième siècle avant notre ère, Archimède utilisait ce type de raisonnement pour calculer l'aire d'un segment de parabole et encadrer π à l'aide de deux polygones. Il ne disposait d'aucun symbole général pour une somme ou une limite : chaque résultat demandait une démonstration géométrique distincte. L'idée d'additionner des bandes fines a attendu environ deux mille ans les notations qui rendraient ce calcul courant.
Écris la subdivision avant d'additionner. Pour n = 4 sur [0, 2], les points sont x0 = 0, x1 = 0.5, x2 = 1, x3 = 1.5 et x4 = 2. Les sommes à gauche utilisent x0 à x3, celles à droite x1 à x4.
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y = x² sur [0, 2] avec n = 4 rectangles à gauche. Choisis Droite, puis appuie plusieurs fois sur Doubler n et observe Ln et Rn se rapprocher de 8/3 ≈ 2.667.
  1. Σi=120 i = ?
  2. Σi=15 3i = ?
  3. Σi=36 2i = ?
  4. Σi=110 i² = ?
  5. [1, 3] découpé en n = 8 morceaux égaux. Δx = ?
  6. L4 pour x² sur [0, 2] ?
  7. R4 pour x² sur [0, 2] ?
  8. L6 pour x²/2 sur [0, 3] (figure 5.5 d'OpenStax) ?
  9. R6 pour x²/2 sur [0, 3] ?
  10. f est croissante sur [a, b]. La somme à gauche est :
    • une sous-estimation
    • une surestimation
    • exacte
    • négative
L'essentiel
  • Δx = (b − a)/n ; n rectangles de largeur Δx.
  • Notation Σ : Σi=1n i = n(n + 1)/2, Σ i² = n(n + 1)(2n + 1)/6.
  • Ln utilise les extrémités gauches, Rn les droites.
  • Pour f croissante, Ln < aire < Rn ; davantage de rectangles réduit l'écart.
Sources de ce cours (6)
  • OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 5 Integration: 5.1 Approximating Areas (Archimedes and the method of exhaustion; sigma notation with Σ 3^i for i = 1 to 5 = 363; left and right endpoint approximations L4 = 1.75 and R4 = 3.75 for x² on [0, 2], L6 = 3.4375 and R6 = 5.6875 for x²/2 on [0, 3]; (x − 1)³ + 4 on [0, 2] approaching 8; Riemann sums named for the 19th-century mathematician Bernhard Riemann; upper and lower sums: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-1-approximating-areas)
  • 5.2 The Definite Integral (limit of Riemann sums, integrability of continuous functions, net signed area, properties: .../pages/5-2-the-definite-integral)
  • 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (Newton and Leibniz, among others, late 1600s and early 1700s; mean value theorem for integrals; parts 1 and 2: .../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus)
  • 5.4 Integration Formulas and the Net Change Theorem (.../pages/5-4-integration-formulas-and-the-net-change-theorem)
  • 4.10 Antiderivatives (.../pages/4-10-antiderivatives)
  • MacTutor, University of St Andrews: Archimedes (287 BC to 212 BC; area of a parabolic segment; π bounded with 96-sided inscribed and circumscribed polygons: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes) and Leibniz (first used the ∫ f(x) dx notation in a manuscript of 21 November 1675: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Leibniz).

Consulté le: 2026-10-17