Intégrales
Cinq unités sur la seconde grande idée du calcul infinitésimal : l'aire sous une courbe, construite à partir de rectangles fins. Tu additionnes des rectangles avec la notation sigma, compares les sommes à gauche, à droite et aux points milieux, puis définis l'intégrale comme leur limite. Le théorème fondamental relie ensuite intégrales et dérivées et permet de calculer des variations nettes et des valeurs moyennes. Dans le laboratoire, tu traces jusqu'à 64 rectangles et tu vois chaque somme à côté de la valeur exacte.
Avant de commencer
L’intégrale définie est une limite de sommes, et le théorème fondamental la relie aux primitives ; fais donc d’abord Limites et Dérivées. La notation sigma est expliquée dans la première unité. Le labo de calcul additionne jusqu’à 64 rectangles pour toi et montre la valeur exacte à côté de chaque somme.
À la fin du cours
Tu sauras estimer l’aire sous x² avec des rectangles à gauche, à droite et au point milieu et voir que 1.75 et 3.75 encadrent 8/3, écrire des sommes en notation sigma et traiter l’aire sous l’axe comme négative. Tu calculeras des intégrales avec des primitives comme x³/3 et distingueras les 4 mètres de distance parcourue par un chariot de son déplacement de 4/3 de mètre.
- 1Approcher une aire avec des rectanglesQuatre rectangles sous y = x² entre 0 et 2 donnent 1.75 en prenant les extrémités gauches, et 3.75 en prenant les droites. L'aire exacte, 8/3, se trouve entre les deux.
- 2Sommes de Riemann et méthode des points milieuxAvec seulement quatre rectangles, la somme des points milieux pour x² sur [0, 2] vaut 2.625, soit un écart inférieur à 0.042 par rapport à la valeur exacte 8/3.
- 3L'intégrale définieL'intégrale de 4 − x² entre 0 et 3 vaut 3 : les 16/3 au-dessus de l'axe moins les 7/3 en dessous.
- 4Le théorème fondamental du calcul intégralTrente-deux rectangles aux points milieux sous x² entre 0 et 2 laissent encore une erreur de 0.0007. La primitive x³/3 donne la valeur exacte 8/3 en une soustraction : 8/3 − 0.
- 5Variation nette et valeur moyenneUn chariot de vitesse algébrique t² − 4t + 3 parcourt 4 mètres au total en quatre secondes, mais termine à seulement 4/3 de mètre de son point de départ.
Sources de ce cours (6)
- OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 5 Integration: 5.1 Approximating Areas (Archimedes and the method of exhaustion; sigma notation with Σ 3^i for i = 1 to 5 = 363; left and right endpoint approximations L4 = 1.75 and R4 = 3.75 for x² on [0, 2], L6 = 3.4375 and R6 = 5.6875 for x²/2 on [0, 3]; (x − 1)³ + 4 on [0, 2] approaching 8; Riemann sums named for the 19th-century mathematician Bernhard Riemann; upper and lower sums: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-1-approximating-areas)
- 5.2 The Definite Integral (limit of Riemann sums, integrability of continuous functions, net signed area, properties: .../pages/5-2-the-definite-integral)
- 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (Newton and Leibniz, among others, late 1600s and early 1700s; mean value theorem for integrals; parts 1 and 2: .../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus)
- 5.4 Integration Formulas and the Net Change Theorem (.../pages/5-4-integration-formulas-and-the-net-change-theorem)
- 4.10 Antiderivatives (.../pages/4-10-antiderivatives)
- MacTutor, University of St Andrews: Archimedes (287 BC to 212 BC; area of a parabolic segment; π bounded with 96-sided inscribed and circumscribed polygons: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes) and Leibniz (first used the ∫ f(x) dx notation in a manuscript of 21 November 1675: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Leibniz).
Consulté le: 2026-10-17