Integrale

Über diesen Kurs

Die zweite große Idee der Analysis ist der Flächeninhalt unter einer Kurve, aufgebaut aus dünnen Rechtecken. Der Kurs beginnt mit y = x² auf [0, 2] und vier linken Rechtecken. Weil x² dort wächst, liegt jedes linke Rechteck unter der Kurve und jedes rechte ragt darüber hinaus, also ist L₄ zu klein, R₄ zu groß, und der wahre Flächeninhalt liegt zwischen 1.75 und 3.75. Im Labor verdoppelst du n einige Male und siehst, wie sich beide Summen 8/3 ≈ 2.667 nähern.

Die fünf Einheiten sind das Annähern von Flächen mit Rechtecken, Riemann-Summen und die Mittelpunktsregel, das bestimmte Integral, der Hauptsatz der Analysis sowie Gesamtänderung und Mittelwert. Die Sigma-Schreibweise schreibt lange Summen kompakt. Die Einheit zum Mittelpunkt zeigt, dass sich bei jeder Verdopplung von n die Fehler der Randwerte etwa halbieren, während der Mittelpunktsfehler auf etwa ein Viertel fällt: 0.042, 0.010, 0.0026, 0.00065. Das bestimmte Integral ist der Grenzwert solcher Summen und misst die Nettofläche mit Vorzeichen: Bei 4 − x² auf [0, 3] ergeben die 16/3 über der Achse minus die 7/3 darunter 3. Der Hauptsatz verbindet dann, was wie getrennte Themen aussah, Steigungen und Flächen, als Umkehrprozesse. Ein Bogen von y = sin x von 0 bis π hat den Flächeninhalt genau 2, und acht Mittelpunktsrechtecke ergeben etwa 2.013.

Die letzte Einheit liest den Satz als Gesamtänderung. Für v(t) = t² − 4t + 3 auf [0, 4], einen erfundenen Wagen, ergeben drei Flächenstücke von 4/3 eine Verschiebung von 4/3, aber eine zurückgelegte Strecke von 4. Ein fallen gelassener Stein hat v(t) = −32t, also findest du die Verschiebung von t = 0 bis 2, indem du die Rate integrierst. Der Kurs rät außerdem, eine Stammfunktion durch Ableiten zu prüfen: (2/3)x^(3/2) wird zu √x abgeleitet.