Integral

Tentang kursus ini

Gagasan besar kedua dalam kalkulus adalah luas di bawah kurva, yang dibangun dari persegi panjang tipis. Kursus ini dimulai dengan y = x² pada [0, 2] dan empat persegi panjang kiri. Karena x² menaik di sana, setiap persegi panjang kiri berada di bawah kurva dan setiap persegi panjang kanan menyembul di atasnya, sehingga L₄ menaksir terlalu rendah, R₄ terlalu tinggi, dan luas sebenarnya berada di antara 1.75 dan 3.75. Di lab kamu menggandakan n beberapa kali dan melihat kedua jumlah itu mendekati 8/3 ≈ 2.667.

Kelima unitnya adalah menaksir luas dengan persegi panjang, jumlah Riemann dan aturan titik tengah, integral tentu, Teorema Dasar Kalkulus, serta perubahan bersih dan nilai rata-rata. Notasi sigma menuliskan jumlah yang panjang secara ringkas. Unit titik tengah menunjukkan bahwa setiap n digandakan, galat titik ujung kira-kira separuhnya, sedangkan galat titik tengah turun menjadi sekitar seperempat: 0.042, 0.010, 0.0026, 0.00065. Integral tentu adalah limit jumlah semacam itu, dan mengukur luas bertanda bersih: untuk 4 − x² pada [0, 3], 16/3 di atas sumbu dikurangi 7/3 di bawahnya menghasilkan 3. Teorema Dasar lalu menghubungkan apa yang tampak seperti dua pokok bahasan terpisah, gradien dan luas, sebagai proses yang saling berkebalikan. Satu lengkung y = sin x, dari 0 sampai π, luasnya tepat 2, dan delapan persegi panjang titik tengah memberi sekitar 2.013.

Unit terakhir membaca teorema itu sebagai perubahan bersih. Untuk v(t) = t² − 4t + 3 pada [0, 4], sebuah kereta rekaan, tiga bagian luas 4/3 memberi perpindahan 4/3 tetapi jarak 4. Batu yang dijatuhkan punya v(t) = −32t, sehingga perpindahan dari t = 0 sampai 2 diperoleh dengan mengintegralkan lajunya. Kursus ini juga menyuruhmu memeriksa antiturunan dengan menurunkannya: (2/3)x^(3/2) diturunkan menjadi √x.