edubun
Bahasa Indonesia
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoРусскийBahasa Indonesia日本語
Beranda›Kalkulus›Integral

Menaksir luas dengan persegi panjang

Empat persegi panjang di bawah y = x² dari 0 sampai 2 menghasilkan 1.75 jika memakai ujung kiri dan 3.75 jika memakai ujung kanan. Luas sebenarnya, 8/3, berada di antaranya.

Bangun yang luasnya diketahui

Persegi panjang, segitiga, dan trapesium memiliki rumus luas; daerah dengan tepi melengkung tidak. OpenStax membuka bab integral dengan Archimedes, yang mengisi daerah melengkung dengan bangun-bangun berluas diketahui yang makin kecil, lalu menjumlahkannya. Proses ini kini disebut metode penghabisan. Kalkulus melakukan hal serupa dengan persegi panjang. Bagilah interval [a, b] menjadi n bagian sama lebar, Δx = (b − a)/n. Dirikan persegi panjang pada tiap bagian dengan tinggi yang diambil dari kurva, lalu jumlahkan luasnya. Makin banyak dan tipis persegi panjangnya, makin rapat susunannya mengikuti kurva.

Notasi sigma

Untuk menjumlahkan banyak suku, kita memerlukan notasi singkat. Huruf Yunani sigma besar menuliskan jumlah secara ringkas: Σi=120 i berarti 1 + 2 + ⋯ + 20. Huruf i adalah indeks; nilainya dimulai dari angka di bawah sigma dan berakhir pada angka di atasnya. Contoh pertama OpenStax adalah Σi=15 3i = 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 363. Dua rumus akan menghemat waktu nanti: Σi=1n i = n(n + 1)/2 dan Σi=1n i² = n(n + 1)(2n + 1)/6. Jadi 1 + 2 + ⋯ + 20 = 20 × 21/2 = 210.

Titik ujung kiri dan kanan

Setiap persegi panjang memerlukan tinggi. Pilihan paling sederhana adalah nilai kurva di salah satu ujung bagiannya. Ujung kiri menghasilkan pendekatan ujung kiri Ln = Σ f(xi−1)Δx; ujung kanan menghasilkan Rn = Σ f(xi)Δx. Untuk f(x) = x² pada [0, 2] dengan n = 4, Δx = 0.5. Tinggi di kiri adalah f(0), f(0.5), f(1), f(1.5) = 0, 0.25, 1, 2.25, sehingga L4 = 0.5 × 3.5 = 1.75. Tinggi di kanan adalah 0.25, 1, 2.25, 4, sehingga R4 = 0.5 × 7.5 = 3.75. Angka-angka ini berasal dari OpenStax.

L4 untuk y = x² pada [0, 2]: persegi panjang selebar 0.5 dengan tinggi ujung kiri 0, 0.25, 1, dan 2.25. Jumlah luasnya, 1.75, belum mencakup daerah di atasnya.

Karena x² naik pada [0, 2], setiap persegi panjang kiri berada di bawah kurva, sedangkan persegi panjang kanan menjulang di atasnya. Jadi L4 menaksir terlalu rendah dan R4 terlalu tinggi; luas sebenarnya berada antara 1.75 dan 3.75. Untuk fungsi menurun, perannya terbalik. Menggandakan n menjadi 8 menghasilkan L8 = 2.1875 dan R8 = 3.1875, sehingga rentangnya menyempit; pada n = 32, rentangnya 2.54 sampai 2.79. Luas eksak yang dihitung dalam satu baris pada unit 4 adalah 8/3 ≈ 2.667.

Latar belakangArchimedes, yang berkarya pada abad ke-3 SM, memakai penalaran serupa untuk mencari luas segmen parabola dan membatasi π di antara dua poligon. Ia belum memiliki simbol umum untuk jumlah atau limit; setiap hasil memerlukan pembuktian geometris tersendiri. Gagasan menjumlahkan jalur-jalur tipis menunggu sekitar dua ribu tahun sebelum hadir notasi yang membuatnya menjadi perhitungan rutin.
Tuliskan partisinya sebelum menjumlahkan apa pun. Untuk n = 4 pada [0, 2], titik pembaginya adalah x0 = 0, x1 = 0.5, x2 = 1, x3 = 1.5, dan x4 = 2. Jumlah kiri memakai x0 sampai x3, sedangkan jumlah kanan memakai x1 sampai x4.
Memuat

Seret untuk memutar. Gulir atau rapatkan dan renggangkan dua jari untuk mengatur zoom.

y = x² pada [0, 2] dengan n = 4 persegi panjang kiri. Beralihlah ke Kanan, lalu tekan Gandakan n beberapa kali dan amati Ln serta Rn mendekati 8/3 ≈ 2.667.
  1. Σi=120 i = ?
  2. Σi=15 3i = ?
  3. Σi=36 2i = ?
  4. Σi=110 i² = ?
  5. [1, 3] dibagi menjadi n = 8 bagian sama panjang. Δx = ?
  6. L4 untuk x² pada [0, 2]?
  7. R4 untuk x² pada [0, 2]?
  8. L6 untuk x²/2 pada [0, 3] (gambar 5.5 OpenStax)?
  9. R6 untuk x²/2 pada [0, 3]?
  10. f naik pada [a, b]. Jumlah ujung kirinya adalah:
    • taksiran terlalu rendah
    • taksiran terlalu tinggi
    • eksak
    • negatif
Poin penting
  • Δx = (b − a)/n; n persegi panjang dengan lebar Δx.
  • Notasi Σ: Σi=1n i = n(n + 1)/2, Σ i² = n(n + 1)(2n + 1)/6.
  • Ln memakai ujung kiri, Rn ujung kanan.
  • Untuk f yang naik, Ln < luas < Rn; lebih banyak persegi panjang mempersempit selisihnya.
Sumber kursus ini (6)
  • OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 5 Integration: 5.1 Approximating Areas (Archimedes and the method of exhaustion; sigma notation with Σ 3^i for i = 1 to 5 = 363; left and right endpoint approximations L4 = 1.75 and R4 = 3.75 for x² on [0, 2], L6 = 3.4375 and R6 = 5.6875 for x²/2 on [0, 3]; (x − 1)³ + 4 on [0, 2] approaching 8; Riemann sums named for the 19th-century mathematician Bernhard Riemann; upper and lower sums: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-1-approximating-areas)
  • 5.2 The Definite Integral (limit of Riemann sums, integrability of continuous functions, net signed area, properties: .../pages/5-2-the-definite-integral)
  • 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (Newton and Leibniz, among others, late 1600s and early 1700s; mean value theorem for integrals; parts 1 and 2: .../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus)
  • 5.4 Integration Formulas and the Net Change Theorem (.../pages/5-4-integration-formulas-and-the-net-change-theorem)
  • 4.10 Antiderivatives (.../pages/4-10-antiderivatives)
  • MacTutor, University of St Andrews: Archimedes (287 BC to 212 BC; area of a parabolic segment; π bounded with 96-sided inscribed and circumscribed polygons: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes) and Leibniz (first used the ∫ f(x) dx notation in a manuscript of 21 November 1675: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Leibniz).

Diperiksa: 2026-10-17