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長方形による面積の近似

y = x² の0から2までを4個の長方形で近似すると、左端を使えば1.75、右端なら3.75です。真の面積 8/3 は、その間にあります。

面積がわかる図形

長方形、三角形、台形には面積の公式がありますが、曲線で囲まれた領域にはそのまま使えません。OpenStaxの積分の章は、アルキメデスの取り尽くし法から始まります。面積のわかる小さな図形で曲線の内側を埋め、足し合わせる方法です。微積分でも長方形を使って同じことをします。[a, b] を幅 Δx = (b − a)/n の等しい n 個の区間に分け、曲線から高さを取った長方形を各区間に立て、面積を足します。長方形を細く、多くするほど曲線に合うようになります。

Σによる和の表記

多くの項を足すときには、短い表記が便利です。ギリシア文字の大文字シグマを使うと、Σi=120 i は 1 + 2 + ⋯ + 20 を表します。i は添字で、Σの下の値から上の値まで動きます。OpenStaxの最初の例は Σi=15 3i = 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 363 です。後で役立つ公式は Σi=1n i = n(n + 1)/2 と Σi=1n i² = n(n + 1)(2n + 1)/6 です。したがって 1 + 2 + ⋯ + 20 = 20 × 21/2 = 210 です。

左端と右端

長方形の高さには、その小区間の端での関数値を使うのが簡単です。左端なら Ln = Σ f(xi−1)Δx、右端なら Rn = Σ f(xi)Δx です。f(x) = x² の [0, 2] を n = 4 に分けると Δx = 0.5 です。左端の高さは f(0)、f(0.5)、f(1)、f(1.5) = 0、0.25、1、2.25 なので、L4 = 0.5 × 3.5 = 1.75 です。右端の高さは 0.25、1、2.25、4 なので、R4 = 0.5 × 7.5 = 3.75 です。これらはOpenStaxの例と同じ数値です。

y = x² の [0, 2] での L4 です。幅0.5、左端の高さ0、0.25、1、2.25の長方形を使います。合計1.75では、その上の面積が足りません。

x² は [0, 2] で増加するため、左端の長方形は曲線の下に収まり、右端の長方形は上にはみ出します。よって L4 は過小、R4 は過大な近似で、真の面積は1.75と3.75の間です。減少関数なら逆になります。n を8に倍増すると L8 = 2.1875、R8 = 3.1875 で差が縮まり、n = 32 では2.54から2.79の間です。単元4で簡単に求める正確な面積は 8/3 ≈ 2.667 です。

背景紀元前3世紀のアルキメデスは、この種の議論で放物線の弓形の面積を求め、2つの多角形で π の範囲を挟みました。和や極限の一般的な記号はなく、結果ごとに図形を使って証明していました。細い帯を足す考え方を日常的に計算できる記法が整うまで、約2000年かかりました。
足す前に、まず分点を書きましょう。[0, 2] を n = 4 に分けると、x0 = 0、x1 = 0.5、x2 = 1、x3 = 1.5、x4 = 2 です。左端の和は x0 から x3、右端の和は x1 から x4 を使います。
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y = x² の [0, 2] で、左端を使った n = 4 個の長方形です。「右端」に切り替え、「nを倍にする」を何度か押し、Ln と Rn が 8/3 ≈ 2.667 に近づく様子を見ましょう。
  1. Σi=120 i = ?
  2. Σi=15 3i = ?
  3. Σi=36 2i = ?
  4. Σi=110 i² = ?
  5. [1, 3] を n = 8 個に等分すると、Δx はいくつですか？
  6. x² の [0, 2] での L4 はいくつですか？
  7. x² の [0, 2] での R4 はいくつですか？
  8. x²/2 の [0, 3] での L6 はいくつですか（OpenStaxの図5.5）？
  9. x²/2 の [0, 3] での R6 はいくつですか？
  10. f が [a, b] で増加するとき、左端の和はどうなりますか？
    • 過小な近似になります
    • 過大な近似になります
    • 厳密な値になります
    • 負になります
ポイント
  • Δx = (b − a)/n。幅 Δx の長方形が n 個あります。
  • Σの表記：Σi=1n i = n(n + 1)/2、Σ i² = n(n + 1)(2n + 1)/6。
  • Ln は左端、Rn は右端を使います。
  • f が増加するなら Ln < 面積 < Rn です。長方形を増やすと差が縮まります。
このコースの出典 (6)
  • OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 5 Integration: 5.1 Approximating Areas (Archimedes and the method of exhaustion; sigma notation with Σ 3^i for i = 1 to 5 = 363; left and right endpoint approximations L4 = 1.75 and R4 = 3.75 for x² on [0, 2], L6 = 3.4375 and R6 = 5.6875 for x²/2 on [0, 3]; (x − 1)³ + 4 on [0, 2] approaching 8; Riemann sums named for the 19th-century mathematician Bernhard Riemann; upper and lower sums: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-1-approximating-areas)
  • 5.2 The Definite Integral (limit of Riemann sums, integrability of continuous functions, net signed area, properties: .../pages/5-2-the-definite-integral)
  • 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (Newton and Leibniz, among others, late 1600s and early 1700s; mean value theorem for integrals; parts 1 and 2: .../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus)
  • 5.4 Integration Formulas and the Net Change Theorem (.../pages/5-4-integration-formulas-and-the-net-change-theorem)
  • 4.10 Antiderivatives (.../pages/4-10-antiderivatives)
  • MacTutor, University of St Andrews: Archimedes (287 BC to 212 BC; area of a parabolic segment; π bounded with 96-sided inscribed and circumscribed polygons: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes) and Leibniz (first used the ∫ f(x) dx notation in a manuscript of 21 November 1675: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Leibniz).

確認日: 2026-10-17