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リーマン和と中点則

x² の [0, 2] では、わずか4個の長方形でも中点の和は2.625となり、厳密な 8/3 との差はすでに0.042未満です。

小区間の好きな点を使えます

左端と右端は、数ある選び方の2つです。一般には、i 番目の小区間の好きな点 xi* を選び、高さを f(xi*) とします。この和 Σi=1n f(xi*)Δx をリーマン和と呼びます。OpenStaxによると、考え方を発展させた19世紀の数学者ベルンハルト・リーマンに由来します。左端と右端の和も、各小区間の中央で高さを取る中点の和 Mn も、リーマン和です。

中点の和は通常、左右の端を使う和よりずっと正確です。x² の [0, 2] を n = 4 に分けると、中点は0.25、0.75、1.25、1.75です。その2乗0.0625、0.5625、1.5625、3.0625の和は5.25で、Δx = 0.5 を掛けると M4 = 2.625 です。一方、L4 = 1.75 と R4 = 3.75 の誤差は約0.92と1.08でした。図を見ると、各長方形で曲線より不足する細い部分と、はみ出す部分がほぼ打ち消し合っています。

y = x² の [0, 2] での M4 です。各小区間の中央の点から高さを取るので、曲線の上下に出る部分がほぼ釣り合います。
nLnRnMn
41.753.752.625
82.18753.18752.6563
162.42192.92192.6641
322.54302.79302.6660

上の表は、x² の [0, 2] について小数第4位まで丸めた値です。n を倍にするたび、端点を使う誤差はほぼ半分、中点の誤差はほぼ4分の1になります。中点の誤差は0.042、0.010、0.0026、0.00065と減ります。3列とも同じ2.6666…に向かい、次の単元の定積分は、この共通の極限として定義されます。

3つの和には簡単な関係があります。左端と右端の和の平均 (Ln + Rn)/2 は台形則で、各長方形を曲線の両端を結ぶ台形に置き換えます。x² の [0, 2]、n = 4 では (1.75 + 3.75)/2 = 2.75 です。約0.083だけ大きく、中点の誤差の約2倍で符号は逆です。下に凸の曲線で台形は過大、中点の長方形はその約半分だけ過小になる傾向は、多くの滑らかな曲線で見られ、後で学ぶシンプソン則の出発点です。

コンピューターでも、まさにこうした和を使います。簡単な原始関数がない場合や測定データしかない場合、プログラムは何千もの中点の長方形や台形を足します。下のラボでは長方形が見えるよう n を64までにしていますが、表の傾向は続きます。倍にするたび中点の誤差はほぼ4分の1になります。

上和と下和

必ず過大な近似にしたいなら、各小区間で f が最大になる xi* を選びます。これが上和です。最小になる点を選べば、必ず過小な下和になります。真の面積は常に両者の間です。区間全体で増加または減少する関数なら、最大値と最小値は端点にあるので、上和と下和は右端と左端の和のどちらかになります。OpenStaxの例 (x − 1)³ + 4 は [0, 2] で増加し、L4 = 7.5、R4 = 8.5 で、n を増やすと両方とも8に近づきます。

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OpenStaxの (x − 1)³ + 4 の [0, 2] です。パネルには Ln、Rn、Mn と厳密な面積8を表示します。この曲線は (1, 4) について点対称なので、中点の和もちょうど8になります。
  1. x² の [0, 2] での M4 はいくつですか？
  2. x² の [0, 2] での M2 はいくつですか？
  3. (x − 1)³ + 4 の [0, 2] での L4 はいくつですか？
  4. 同じ関数の R4 はいくつですか？
  5. f(x) = 4 − x² の [0, 2] での L2 はいくつですか？
  6. [0, 2] で減少する 4 − x² の左端の和は、どうなりますか？
    • 過大な近似（上和）です
    • 過小な近似になります
    • 厳密な値になります
    • 0です
  7. n を倍にすると、x² の中点の誤差はおよそどうなりますか？
    • 4分の1になります
    • 2分の1になります
    • 変わりません
    • 10分の1になります
  8. リーマン和は誰の名前に由来しますか？
    • 19世紀のベルンハルト・リーマン
    • アルキメデス
    • アイザック・ニュートン
    • ルネ・デカルト
  9. x² の [0, 2] での厳密な面積は 8/3 です。小数第3位まで答えてください。
  10. リーマン和 Σ f(xi*)Δx に必要なのはどれですか？
    • 各小区間から選んだ1つの点
    • 最初に厳密な面積を知ること
    • f が増加すること
    • n が偶数であること
ポイント
  • リーマン和：各小区間の任意の点を使った Σ f(xi*)Δx です。
  • 中点の和 Mn は通常、Ln や Rn よりはるかに正確です。
  • 上和と下和で面積を挟めます。
  • f が連続なら、n を増やすとすべてのリーマン和は同じ値に近づきます。
このコースの出典 (6)
  • OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 5 Integration: 5.1 Approximating Areas (Archimedes and the method of exhaustion; sigma notation with Σ 3^i for i = 1 to 5 = 363; left and right endpoint approximations L4 = 1.75 and R4 = 3.75 for x² on [0, 2], L6 = 3.4375 and R6 = 5.6875 for x²/2 on [0, 3]; (x − 1)³ + 4 on [0, 2] approaching 8; Riemann sums named for the 19th-century mathematician Bernhard Riemann; upper and lower sums: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-1-approximating-areas)
  • 5.2 The Definite Integral (limit of Riemann sums, integrability of continuous functions, net signed area, properties: .../pages/5-2-the-definite-integral)
  • 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (Newton and Leibniz, among others, late 1600s and early 1700s; mean value theorem for integrals; parts 1 and 2: .../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus)
  • 5.4 Integration Formulas and the Net Change Theorem (.../pages/5-4-integration-formulas-and-the-net-change-theorem)
  • 4.10 Antiderivatives (.../pages/4-10-antiderivatives)
  • MacTutor, University of St Andrews: Archimedes (287 BC to 212 BC; area of a parabolic segment; π bounded with 96-sided inscribed and circumscribed polygons: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes) and Leibniz (first used the ∫ f(x) dx notation in a manuscript of 21 November 1675: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Leibniz).

確認日: 2026-10-17