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定積分

4 − x² の0から3までの積分は3です。軸の上の16/3から、下の7/3を引いた値です。

和の極限

f の a から b までの定積分は、分割数を限りなく増やしたときのリーマン和の極限です。∫ab f(x) dx = limn→∞ Σi=1n f(xi*)Δx と書きます。ただし、極限が存在し、選ぶ点によらないことが条件です。このとき f は [a, b] で積分可能といいます。OpenStaxによると、閉区間で連続な関数はすべて積分可能なので、このコースの関数では極限が存在します。

記号にも意味があります。長いSの形の ∫ は、ライプニッツが和を表す文字を伸ばして導入したものです。a と b は積分区間の下端と上端、f(x) は被積分関数です。dx は限りなく細い長方形の幅を表し、どの変数について足すかを示します。x 自体は積分変数にすぎず、∫02 x² dx と ∫02 t² dt は同じ 8/3 です。

符号付き面積の差

f が x 軸の下にあると長方形の高さは負になり、和から引かれます。積分は、軸の上の面積から下の面積を引いた符号付き面積です。f(x) = 4 − x² の [0, 3] では、[0, 2] で軸の上にあり面積は16/3、[2, 3] で下にあり面積は7/3です。したがって ∫03 (4 − x²) dx = 16/3 − 7/3 = 3 です。符号によらない総面積なら |f| を積分し、16/3 + 7/3 = 23/3 となります。正味の変化を知りたいのか、塗料を塗る広さを知りたいのかで使い分けます。

4 − x² の [0, 3] を、中点の長方形12個で近似します。軸の下は負として数えるので、正味は 16/3 − 7/3 = 3 です。

符号付き面積から、便利な対称性もわかります。x³ や sin x のように f(−x) = −f(x) となる奇関数では、y 軸の左側と右側の領域は原点について対称になり、∫−aa f(x) dx = 0 です。x² のような偶関数なら左右は等しく、[−a, a] の積分は [0, a] の積分の2倍です。最初に対称性に気づけば、計算を省けます。

積分の性質と図形

定義からいくつかの性質が得られます。1点上の積分は ∫aa f dx = 0 です。上下端を入れ替えると符号が変わり、∫ba f dx = −∫ab f dx です。隣り合う区間では ∫ab + ∫bc = ∫ac と足せます。定数倍の定数は外に出せ、和の積分は積分の和になります。見慣れた図形なら面積から求められます。∫03 2x dx は底辺3、高さ6の三角形で9、∫04 3 dx は4×3の長方形で12、∫−11 √(1 − x²) dx は半径1の半円で π/2 です。

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4 − x² の0から b までです。軸の下の長方形は赤くなり、負として数えます。b を2から3に動かし、厳密な積分が16/3から3に減る様子を見ましょう。
  1. 三角形を使って ∫03 2x dx を求めてください。
  2. ∫04 3 dx = ?
  3. ∫−11 √(1 − x²) dx を小数第4位まで答えてください。
  4. ∫55 x³ dx = ?
  5. ∫02 f dx = 5 のとき、∫20 f dx はいくつですか？
  6. ∫02 f dx = 5、∫25 f dx = −1 のとき、∫05 f dx はいくつですか？
  7. 同じ f について、∫02 3f(x) dx はいくつですか？
  8. ∫03 (4 − x²) dx = ?
  9. [0, 3] で 4 − x² と軸に挟まれた、符号を付けない総面積はいくつですか？
    • 23/3
    • 3
    • 16/3
    • 7/3
  10. [a, b] で必ず積分可能なのは、どの関数ですか？
    • 連続な関数
    • 多項式だけ
    • 正の関数だけ
    • 増加する関数だけ
ポイント
  • ∫ab f(x) dx = limn→∞ Σ f(xi*)Δx.
  • 軸の上の面積から下の面積を引いた、符号付き面積です。
  • ∫aa = 0。上下端を入れ替えると符号が変わり、隣り合う区間は足せます。
  • 見慣れた図形なら、面積の公式で積分を求められます。
このコースの出典 (6)
  • OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 5 Integration: 5.1 Approximating Areas (Archimedes and the method of exhaustion; sigma notation with Σ 3^i for i = 1 to 5 = 363; left and right endpoint approximations L4 = 1.75 and R4 = 3.75 for x² on [0, 2], L6 = 3.4375 and R6 = 5.6875 for x²/2 on [0, 3]; (x − 1)³ + 4 on [0, 2] approaching 8; Riemann sums named for the 19th-century mathematician Bernhard Riemann; upper and lower sums: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-1-approximating-areas)
  • 5.2 The Definite Integral (limit of Riemann sums, integrability of continuous functions, net signed area, properties: .../pages/5-2-the-definite-integral)
  • 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (Newton and Leibniz, among others, late 1600s and early 1700s; mean value theorem for integrals; parts 1 and 2: .../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus)
  • 5.4 Integration Formulas and the Net Change Theorem (.../pages/5-4-integration-formulas-and-the-net-change-theorem)
  • 4.10 Antiderivatives (.../pages/4-10-antiderivatives)
  • MacTutor, University of St Andrews: Archimedes (287 BC to 212 BC; area of a parabolic segment; π bounded with 96-sided inscribed and circumscribed polygons: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes) and Leibniz (first used the ∫ f(x) dx notation in a manuscript of 21 November 1675: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Leibniz).

確認日: 2026-10-17