edubun
Русский
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoРусскийBahasa Indonesia日本語
Главная›Математический анализ›Интегралы

Определённый интеграл

Интеграл от 4 − x² от 0 до 3 равен 3: из 16/3 над осью вычитается 7/3 под осью.

Предел сумм

Определённый интеграл f от a до b является пределом её сумм Римана при неограниченном росте числа частей: ∫ab f(x) dx = limn→∞ Σi=1n f(xi*)Δx, если предел существует и не зависит от выбора точек. В этом случае f интегрируема на [a, b]. OpenStax отмечает, что любая непрерывная на отрезке функция интегрируема, поэтому для функций этого курса предел всегда существует.

Обозначение передаёт геометрическую картину. Вытянутая S, ∫, введена Лейбницем как знак суммы. Числа a и b являются пределами интегрирования, f(x) подынтегральной функцией, а dx обозначает ширину исчезающе узкого прямоугольника и указывает переменную суммирования. Сама буква x служит переменной интегрирования: ∫02 x² dx и ∫02 t² dt дают одно число 8/3.

Площадь с учётом знака

Если f опускается ниже оси x, высоты прямоугольников отрицательны и их площади вычитаются. Интеграл измеряет площадь с учётом знака: площадь над осью минус площадь под ней. Для f(x) = 4 − x² на [0, 3] кривая выше оси на [0, 2] с площадью 16/3 и ниже на [2, 3] с площадью 7/3. Поэтому ∫03 (4 − x²) dx = 16/3 − 7/3 = 3. Если нужна полная площадь независимо от знака, интегрируй |f|: здесь получится 16/3 + 7/3 = 23/3. Выбор зависит от вопроса: суммарное изменение или количество краски.

4 − x² на [0, 3] с 12 средними прямоугольниками. Прямоугольники под осью учитываются со знаком минус; итог 16/3 − 7/3 = 3.

Площадь со знаком объясняет полезную симметрию. Если f нечётна, то есть f(−x) = −f(x), как x³ или sin x, область слева от оси y зеркально соответствует правой, но перевёрнута под ось. Поэтому ∫−aa f(x) dx = 0. Для чётной функции, например x², половины равны, и интеграл по [−a, a] вдвое больше интеграла по [0, a]. Замеченная заранее симметрия может избавить от вычислений.

Свойства и геометрия

Из определения следуют несколько свойств. Интеграл по одной точке равен нулю: ∫aa f dx = 0. Перестановка пределов меняет знак: ∫ba f dx = −∫ab f dx. Интегралы по соседним отрезкам складываются: ∫ab + ∫bc = ∫ac. Постоянный множитель выносится, интеграл суммы равен сумме интегралов. Для знакомой фигуры геометрия сразу даёт ответ: ∫03 2x dx задаёт треугольник с основанием 3 и высотой 6, площадью 9; ∫04 3 dx задаёт прямоугольник 4 на 3, площадью 12; ∫−11 √(1 − x²) dx задаёт половину единичного круга, π/2.

Загрузка

Перетащи, чтобы повернуть. Для изменения масштаба прокрути колёсико или сведи и разведи два пальца.

4 − x² от 0 до b. Прямоугольники под осью краснеют и учитываются со знаком минус. Перемести b от 2 до 3 и наблюдай, как точный интеграл уменьшается с 16/3 до 3.
  1. ∫03 2x dx (используй треугольник)?
  2. ∫04 3 dx = ?
  3. ∫−11 √(1 − x²) dx с точностью до 4 знаков после точки?
  4. ∫55 x³ dx = ?
  5. ∫02 f dx = 5. Чему равно ∫20 f dx?
  6. ∫02 f dx = 5 и ∫25 f dx = −1. ∫05 f dx = ?
  7. Та же f: ∫02 3f(x) dx = ?
  8. ∫03 (4 − x²) dx = ?
  9. Полная площадь (без знака) между 4 − x² и осью на [0, 3] равна:
    • 23/3
    • 3
    • 16/3
    • 7/3
  10. Какие функции обязательно интегрируемы на [a, b]?
    • непрерывные
    • только многочлены
    • только положительные
    • только возрастающие
Главное
  • ∫ab f(x) dx = limn→∞ Σ f(xi*)Δx.
  • Это площадь с учётом знака: над осью минус под осью.
  • ∫aa = 0, перестановка пределов меняет знак, соседние отрезки складываются.
  • Для знакомых фигур интеграл можно найти геометрически.
Источники курса (6)
  • OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 5 Integration: 5.1 Approximating Areas (Archimedes and the method of exhaustion; sigma notation with Σ 3^i for i = 1 to 5 = 363; left and right endpoint approximations L4 = 1.75 and R4 = 3.75 for x² on [0, 2], L6 = 3.4375 and R6 = 5.6875 for x²/2 on [0, 3]; (x − 1)³ + 4 on [0, 2] approaching 8; Riemann sums named for the 19th-century mathematician Bernhard Riemann; upper and lower sums: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-1-approximating-areas)
  • 5.2 The Definite Integral (limit of Riemann sums, integrability of continuous functions, net signed area, properties: .../pages/5-2-the-definite-integral)
  • 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (Newton and Leibniz, among others, late 1600s and early 1700s; mean value theorem for integrals; parts 1 and 2: .../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus)
  • 5.4 Integration Formulas and the Net Change Theorem (.../pages/5-4-integration-formulas-and-the-net-change-theorem)
  • 4.10 Antiderivatives (.../pages/4-10-antiderivatives)
  • MacTutor, University of St Andrews: Archimedes (287 BC to 212 BC; area of a parabolic segment; π bounded with 96-sided inscribed and circumscribed polygons: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes) and Leibniz (first used the ∫ f(x) dx notation in a manuscript of 21 November 1675: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Leibniz).

Проверено: 2026-10-17