L'intégrale définie

L'intégrale de 4 − x² entre 0 et 3 vaut 3 : les 16/3 au-dessus de l'axe moins les 7/3 en dessous.

La limite des sommes

L'intégrale définie de f entre a et b est la limite de ses sommes de Riemann lorsque le nombre de morceaux tend vers l'infini : ∫_a^b f(x) dx = lim_n→∞ Σ_i=1ⁿ f(x_i*)Δx, si cette limite existe et ne dépend pas des points choisis. Dans ce cas, f est intégrable sur [a, b]. OpenStax rappelle que toute fonction continue sur un intervalle fermé est intégrable ; pour les fonctions de ce cours, la limite existe donc toujours.

La notation traduit la construction. Le S allongé, ∫, évoque une somme ; Leibniz l'a introduit. Les nombres a et b sont les bornes d'intégration, f(x) est la fonction à intégrer, et dx représente la largeur d'un rectangle infiniment fin tout en indiquant la variable d'intégration. La lettre x est une variable muette : ∫₀² x² dx et ∫₀² t² dt donnent le même nombre, 8/3.

L'aire algébrique

Si f passe sous l'axe des abscisses, les rectangles y ont des hauteurs négatives et se soustraient. L'intégrale mesure l'aire algébrique : aire au-dessus de l'axe moins aire en dessous. Pour f(x) = 4 − x² sur [0, 3], la courbe est au-dessus sur [0, 2], avec une aire de 16/3, et en dessous sur [2, 3], avec une aire de 7/3. Ainsi, ∫₀³ (4 − x²) dx = 16/3 − 7/3 = 3. Pour obtenir l'aire totale sans tenir compte du signe, intègre plutôt |f| : ici, cela donne 16/3 + 7/3 = 23/3. Le choix dépend de la question : cherche-t-on une variation nette ou une quantité de peinture ?

L'aire algébrique explique aussi une symétrie utile. Si f est impaire, c'est-à-dire f(−x) = −f(x), comme x³ ou sin x, l'aire à gauche de l'axe des ordonnées correspond à celle de droite, retournée sous l'axe : ∫_−a^a f(x) dx = 0. Pour une fonction paire comme x², les deux moitiés sont égales : l'intégrale sur [−a, a] est le double de celle sur [0, a]. Repérer la symétrie peut éviter tout un calcul.

Propriétés et géométrie

Quelques propriétés découlent de la définition. Sur un seul point, l'intégrale est nulle : ∫_a^a f dx = 0. Échanger les bornes change le signe : ∫_b^a f dx = −∫_a^b f dx. Les intégrales sur des intervalles adjacents s'additionnent : ∫_a^b + ∫_b^c = ∫_a^c. Les constantes sortent de l'intégrale, et l'intégrale d'une somme est la somme des intégrales. Pour une forme connue, la géométrie donne directement la réponse : ∫₀³ 2x dx correspond à un triangle de base 3 et de hauteur 6, donc d'aire 9 ; ∫₀⁴ 3 dx à un rectangle de 4 sur 3, donc d'aire 12 ; et ∫₋₁¹ √(1 − x²) dx à un demi-disque unité, d'aire π/2.