Sommes de Riemann et méthode des points milieux

Avec seulement quatre rectangles, la somme des points milieux pour x² sur [0, 2] vaut 2.625, soit un écart inférieur à 0.042 par rapport à la valeur exacte 8/3.

Un point quelconque dans chaque morceau

Les extrémités gauches et droites ne sont que deux choix parmi d'autres. Plus généralement, choisis un point x_i* dans le i-ième morceau et prends f(x_i*) comme hauteur. La somme Σ_i=1ⁿ f(x_i*)Δx est appelée somme de Riemann, du nom du mathématicien du 19e siècle Bernhard Riemann qui développa cette idée, comme le rappelle OpenStax. Les sommes à gauche et à droite en sont des exemples, tout comme la somme des points milieux M_n, dont les hauteurs sont prises au milieu de chaque morceau.

La somme des points milieux est généralement bien meilleure que celles aux extrémités. Pour x² sur [0, 2] avec n = 4, les milieux sont 0.25, 0.75, 1.25 et 1.75. Leurs carrés sont 0.0625, 0.5625, 1.5625 et 3.0625, de somme 5.25 ; en multipliant par Δx = 0.5, on obtient M₄ = 2.625. En comparaison, L₄ = 1.75 et R₄ = 3.75 présentaient des erreurs d'environ 0.92 et 1.08. La courbe explique pourquoi : dans chaque morceau, le rectangle laisse une petite bande sous la courbe d'un côté et en ajoute une semblable de l'autre ; elles se compensent presque.

Le tableau ci-dessus, arrondi à quatre décimales, montre l'évolution pour x² sur [0, 2]. Chaque doublement de n divise environ par deux les erreurs aux extrémités, tandis que l'erreur des points milieux est divisée environ par quatre : 0.042, 0.010, 0.0026, 0.00065. Les trois colonnes tendent vers le même nombre, 2.6666… ; l'intégrale définie dans l'unité suivante est précisément cette limite commune.

Un lien simple unit les trois sommes. La moyenne des sommes à gauche et à droite, (L_n + R_n)/2, donne la méthode des trapèzes : chaque rectangle est remplacé par un trapèze reliant les deux extrémités de la courbe. Pour x² sur [0, 2] avec n = 4, elle donne (1.75 + 3.75)/2 = 2.75, soit environ 0.083 de trop : à peu près deux fois l'erreur des points milieux, dans l'autre sens. Ce schéma, où les trapèzes surestiment l'aire sous une courbe convexe alors que les points milieux la sous-estiment avec une erreur environ moitié moindre, vaut pour de nombreuses courbes lisses. Il sert de point de départ à la méthode de Simpson, étudiée plus tard.

Les ordinateurs utilisent exactement ces sommes. Lorsqu'une fonction n'a pas de primitive commode, ou n'est connue que par des mesures, un programme additionne des milliers de rectangles aux points milieux ou de trapèzes. Le laboratoire ci-dessous limite n à 64 pour que les rectangles restent visibles, mais l'évolution du tableau se poursuit : chaque doublement divise environ par quatre l'erreur des points milieux.

Sommes supérieures et inférieures

Pour garantir une surestimation, choisis x_i* là où f est maximale sur chaque morceau : tu obtiens une somme supérieure. En choisissant les minimums, tu obtiens une somme inférieure, qui garantit une sous-estimation. L'aire exacte se trouve toujours entre les deux. Pour une fonction seulement croissante ou seulement décroissante sur l'intervalle, les valeurs extrêmes sont aux extrémités : les sommes supérieure et inférieure sont donc les sommes à droite et à gauche, dans un ordre ou dans l'autre. La fonction (x − 1)³ + 4 d'OpenStax sur [0, 2] est croissante, avec L₄ = 7.5 et R₄ = 8.5 ; toutes deux tendent vers 8 lorsque n augmente.