Jumlah Riemann dan aturan titik tengah
Dengan empat persegi panjang saja, jumlah titik tengah untuk x² pada [0, 2] adalah 2.625, hanya berselisih kurang dari 0.042 dari nilai eksak 8/3.
Sembarang titik pada setiap bagian
Ujung kiri dan kanan hanyalah dua dari banyak pilihan. Secara umum, pilih sembarang titik xi* pada bagian ke-i dan gunakan f(xi*) sebagai tinggi. Jumlah Σi=1n f(xi*)Δx disebut jumlah Riemann. Seperti dijelaskan OpenStax, namanya diambil dari matematikawan abad ke-19 Bernhard Riemann, yang mengembangkan gagasan ini. Jumlah kiri dan kanan termasuk jumlah Riemann, begitu pula jumlah titik tengah Mn, yang mengambil tinggi dari tengah setiap bagian.
Jumlah titik tengah biasanya jauh lebih baik daripada jumlah ujung kiri maupun kanan. Untuk x² pada [0, 2] dengan n = 4, titik tengahnya adalah 0.25, 0.75, 1.25, dan 1.75. Kuadratnya adalah 0.0625, 0.5625, 1.5625, dan 3.0625, dengan jumlah 5.25; dikalikan Δx = 0.5 menghasilkan M4 = 2.625. Bandingkan: L4 = 1.75 dan R4 = 3.75 berselisih sekitar 0.92 dan 1.08. Alasannya terlihat pada grafik. Di setiap bagian, persegi panjang melewatkan sedikit daerah di satu sisi kurva dan menambahkan daerah serupa di sisi lainnya, sehingga keduanya hampir saling meniadakan.
| n | Ln | Rn | Mn |
|---|---|---|---|
| 4 | 1.75 | 3.75 | 2.625 |
| 8 | 2.1875 | 3.1875 | 2.6563 |
| 16 | 2.4219 | 2.9219 | 2.6641 |
| 32 | 2.5430 | 2.7930 | 2.6660 |
Tabel di atas, dibulatkan hingga empat angka desimal, memperlihatkan pola untuk x² pada [0, 2]. Setiap kali n digandakan, galat ujung kira-kira menjadi setengahnya, sedangkan galat titik tengah menjadi sekitar seperempatnya: 0.042, 0.010, 0.0026, 0.00065. Ketiga kolom menuju bilangan yang sama, 2.6666…, dan integral tentu pada unit berikutnya didefinisikan tepat sebagai limit bersama itu.
Ada hubungan singkat antara ketiga jumlah. Rata-rata jumlah kiri dan kanan, (Ln + Rn)/2, adalah aturan trapesium, yang mengganti setiap persegi panjang dengan trapesium penghubung kedua ujung kurva. Untuk x² pada [0, 2] dengan n = 4, hasilnya (1.75 + 3.75)/2 = 2.75, terlalu tinggi sekitar 0.083, kira-kira dua kali galat titik tengah dan pada sisi berlawanan. Pola ini, trapesium menaksir kurva cekung ke atas terlalu tinggi sementara persegi panjang titik tengah menaksir terlalu rendah dengan galat sekitar separuhnya, berlaku untuk banyak kurva mulus dan menjadi dasar aturan Simpson pada pelajaran lanjutan.
Komputer memakai jumlah-jumlah ini juga. Ketika fungsi tidak memiliki antiturunan yang mudah dicari, atau hanya diketahui dari data pengukuran, program menjumlahkan ribuan bagian titik tengah atau trapesium. Lab di bawah membatasi n hingga 64 agar persegi panjang masih terlihat, tetapi pola tabel tetap berlanjut: setiap penggandaan membuat galat titik tengah sekitar empat kali lebih kecil.
Jumlah atas dan bawah
Untuk mendapatkan taksiran yang pasti terlalu tinggi, pilih xi* di tempat f paling besar pada setiap bagian; hasilnya adalah jumlah atas. Memilih tempat f paling kecil menghasilkan jumlah bawah, yang pasti menaksir terlalu rendah. Luas sebenarnya selalu berada di antaranya. Untuk fungsi yang hanya naik atau hanya turun pada interval tersebut, nilai terbesar dan terkecil terletak di ujung, sehingga jumlah atas dan bawah adalah jumlah kanan dan kiri dalam urutan yang sesuai. Kurva OpenStax (x − 1)³ + 4 pada [0, 2] naik, dengan L4 = 7.5 dan R4 = 8.5, dan keduanya mendekati 8 ketika n bertambah.
Seret untuk memutar. Gulir atau rapatkan dan renggangkan dua jari untuk mengatur zoom.
- M4 untuk x² pada [0, 2]?
- M2 untuk x² pada [0, 2]?
- L4 untuk (x − 1)³ + 4 pada [0, 2]?
- R4 untuk fungsi yang sama?
- L2 untuk f(x) = 4 − x² pada [0, 2]?
- Untuk 4 − x² pada [0, 2] (menurun), jumlah kiri adalah:
- taksiran terlalu tinggi (jumlah atas)
- taksiran terlalu rendah
- eksak
- nol
- Menggandakan n mengurangi galat titik tengah untuk x² sekitar:
- menjadi 1/4
- menjadi 1/2
- tidak berkurang
- menjadi 1/10
- Nama siapa yang dipakai untuk jumlah Riemann?
- Bernhard Riemann, abad ke-19
- Archimedes
- Isaac Newton
- René Descartes
- Luas eksak di bawah x² pada [0, 2] adalah 8/3. Tuliskan hingga 3 angka desimal.
- Jumlah Riemann Σ f(xi*)Δx memerlukan:
- satu titik sampel pada setiap bagian
- luas eksak terlebih dahulu
- f harus naik
- n harus genap
- Jumlah Riemann: Σ f(xi*)Δx dengan sembarang titik sampel pada setiap bagian.
- Jumlah titik tengah Mn biasanya jauh lebih akurat daripada Ln atau Rn.
- Jumlah atas dan bawah mengapit luas.
- Semua jumlah Riemann untuk f yang kontinu mendekati bilangan yang sama ketika n bertambah.
Sumber kursus ini (6)
- OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 5 Integration: 5.1 Approximating Areas (Archimedes and the method of exhaustion; sigma notation with Σ 3^i for i = 1 to 5 = 363; left and right endpoint approximations L4 = 1.75 and R4 = 3.75 for x² on [0, 2], L6 = 3.4375 and R6 = 5.6875 for x²/2 on [0, 3]; (x − 1)³ + 4 on [0, 2] approaching 8; Riemann sums named for the 19th-century mathematician Bernhard Riemann; upper and lower sums: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-1-approximating-areas)
- 5.2 The Definite Integral (limit of Riemann sums, integrability of continuous functions, net signed area, properties: .../pages/5-2-the-definite-integral)
- 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (Newton and Leibniz, among others, late 1600s and early 1700s; mean value theorem for integrals; parts 1 and 2: .../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus)
- 5.4 Integration Formulas and the Net Change Theorem (.../pages/5-4-integration-formulas-and-the-net-change-theorem)
- 4.10 Antiderivatives (.../pages/4-10-antiderivatives)
- MacTutor, University of St Andrews: Archimedes (287 BC to 212 BC; area of a parabolic segment; π bounded with 96-sided inscribed and circumscribed polygons: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes) and Leibniz (first used the ∫ f(x) dx notation in a manuscript of 21 November 1675: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Leibniz).
Diperiksa: 2026-10-17