Somas de Riemann e regra do ponto médio
Com apenas quatro retângulos, a soma pelo ponto médio para x² em [0, 2] é 2.625, já a menos de 0.042 do valor exato 8/3.
Qualquer ponto em cada parte
As extremidades esquerdas e direitas são duas escolhas entre muitas. Em geral, escolha qualquer ponto xi* na i-ésima parte e use f(xi*) como altura. A soma Σi=1n f(xi*)Δx é chamada soma de Riemann, em homenagem, como observa o OpenStax, ao matemático do século 19 Bernhard Riemann, que desenvolveu a ideia. As somas à esquerda e à direita são somas de Riemann, assim como a soma pelo ponto médio Mn, que usa a altura no meio de cada parte.
A soma pelo ponto médio costuma ser bem melhor que as somas pelas extremidades. Para x² em [0, 2] com n = 4, os pontos médios são 0.25, 0.75, 1.25 e 1.75. Seus quadrados são 0.0625, 0.5625, 1.5625 e 3.0625, cuja soma é 5.25; multiplicar por Δx = 0.5 dá M4 = 2.625. Compare: L4 = 1.75 e R4 = 3.75 tinham erros de cerca de 0.92 e 1.08. O gráfico explica. Em cada parte, o retângulo deixa de fora uma pequena faixa da curva de um lado e acrescenta uma faixa semelhante do outro, quase compensando os erros.
| n | Ln | Rn | Mn |
|---|---|---|---|
| 4 | 1.75 | 3.75 | 2.625 |
| 8 | 2.1875 | 3.1875 | 2.6563 |
| 16 | 2.4219 | 2.9219 | 2.6641 |
| 32 | 2.5430 | 2.7930 | 2.6660 |
A tabela acima, arredondada a quatro casas decimais, mostra o padrão para x² em [0, 2]. Sempre que n dobra, os erros pelas extremidades caem aproximadamente pela metade, enquanto o erro pelo ponto médio cai para cerca de um quarto: 0.042, 0.010, 0.0026, 0.00065. As três colunas tendem ao mesmo número, 2.6666…, e a integral definida da próxima unidade é exatamente esse limite comum.
Há uma ligação simples entre as três somas. A média das somas à esquerda e à direita, (Ln + Rn)/2, é a regra dos trapézios, que troca cada retângulo por um trapézio unindo os dois extremos da curva. Para x² em [0, 2] com n = 4, ela dá (1.75 + 3.75)/2 = 2.75, cerca de 0.083 acima, aproximadamente o dobro do erro pelo ponto médio e do lado oposto. Esse padrão, de trapézios superestimarem uma curva com concavidade para cima enquanto o ponto médio a subestima com cerca de metade do erro, vale para muitas curvas suaves e leva à regra de Simpson em cursos posteriores.
Computadores usam exatamente essas somas. Quando uma função não tem uma primitiva conveniente, ou só é conhecida por medições, um programa soma milhares de partes pelo ponto médio ou por trapézios. O laboratório abaixo limita n a 64 para que os retângulos continuem visíveis, mas o padrão da tabela prossegue: cada vez que n dobra, o erro pelo ponto médio fica cerca de quatro vezes menor.
Somas superiores e inferiores
Para garantir uma superestimativa, escolha xi* onde f é máxima em cada parte; o resultado é uma soma superior. Escolher onde f é mínima dá uma soma inferior, uma subestimativa garantida. A área real fica sempre entre elas. Se a função só cresce ou só decresce no intervalo, os maiores e menores valores estão nas extremidades, então as somas superior e inferior são as somas à direita e à esquerda, em alguma ordem. A curva (x − 1)³ + 4 do OpenStax é crescente em [0, 2], com L4 = 7.5 e R4 = 8.5, e ambas tendem a 8 quando n cresce.
Arraste para girar. Use a rolagem ou afaste e aproxime dois dedos para ajustar o zoom.
- M4 para x² em [0, 2]?
- M2 para x² em [0, 2]?
- L4 para (x − 1)³ + 4 em [0, 2]?
- R4 para a mesma função?
- L2 para f(x) = 4 − x² em [0, 2]?
- Para 4 − x² em [0, 2] (decrescente), a soma à esquerda é:
- uma superestimativa (soma superior)
- uma subestimativa
- exata
- zero
- Dobrar n reduz o erro pelo ponto médio para x² por um fator aproximado de:
- 4
- 2
- nada
- 10
- A soma de Riemann recebeu o nome de quem?
- Bernhard Riemann, século 19
- Arquimedes
- Isaac Newton
- René Descartes
- A área exata sob x² em [0, 2] é 8/3. Dê o valor com 3 casas decimais.
- Uma soma de Riemann Σ f(xi*)Δx precisa de:
- um ponto de amostragem em cada parte
- a área exata primeiro
- f crescente
- n par
- Soma de Riemann: Σ f(xi*)Δx com qualquer ponto de amostragem em cada parte.
- A soma pelo ponto médio Mn costuma ser muito mais precisa que Ln ou Rn.
- As somas superior e inferior delimitam a área.
- Todas as somas de Riemann de uma f contínua tendem ao mesmo número quando n cresce.
Fontes deste curso (6)
- OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 5 Integration: 5.1 Approximating Areas (Archimedes and the method of exhaustion; sigma notation with Σ 3^i for i = 1 to 5 = 363; left and right endpoint approximations L4 = 1.75 and R4 = 3.75 for x² on [0, 2], L6 = 3.4375 and R6 = 5.6875 for x²/2 on [0, 3]; (x − 1)³ + 4 on [0, 2] approaching 8; Riemann sums named for the 19th-century mathematician Bernhard Riemann; upper and lower sums: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-1-approximating-areas)
- 5.2 The Definite Integral (limit of Riemann sums, integrability of continuous functions, net signed area, properties: .../pages/5-2-the-definite-integral)
- 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (Newton and Leibniz, among others, late 1600s and early 1700s; mean value theorem for integrals; parts 1 and 2: .../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus)
- 5.4 Integration Formulas and the Net Change Theorem (.../pages/5-4-integration-formulas-and-the-net-change-theorem)
- 4.10 Antiderivatives (.../pages/4-10-antiderivatives)
- MacTutor, University of St Andrews: Archimedes (287 BC to 212 BC; area of a parabolic segment; π bounded with 96-sided inscribed and circumscribed polygons: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes) and Leibniz (first used the ∫ f(x) dx notation in a manuscript of 21 November 1675: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Leibniz).
Data de verificação: 2026-10-17