Somme di Riemann e regola del punto medio

Con soli quattro rettangoli, la somma dei punti medi per x² su [0, 2] è 2.625: lo scarto dal valore esatto 8/3 è già inferiore a 0.042.

Un punto qualsiasi in ogni sottointervallo

Gli estremi sinistri e destri sono solo due delle molte scelte possibili. In generale, scegli un punto qualsiasi x_i* nell'i-esimo sottointervallo e usa f(x_i*) come altezza. La somma Σ_i=1ⁿ f(x_i*)Δx si chiama somma di Riemann: come ricorda OpenStax, prende il nome dal matematico del 19° secolo Bernhard Riemann, che sviluppò l'idea. Le somme sinistre e destre sono somme di Riemann; lo è anche la somma dei punti medi M_n, che ricava ogni altezza dal centro del sottointervallo.

La somma dei punti medi è di solito molto migliore delle somme agli estremi. Per x² su [0, 2] con n = 4, i punti medi sono 0.25, 0.75, 1.25 e 1.75. I loro quadrati sono 0.0625, 0.5625, 1.5625 e 3.0625: la somma è 5.25 e, moltiplicando per Δx = 0.5, si ottiene M₄ = 2.625. Per confronto, L₄ = 1.75 e R₄ = 3.75 avevano errori di circa 0.92 e 1.08. Il motivo si vede nel grafico. In ogni sottointervallo il rettangolo esclude una piccola porzione sotto la curva da un lato e ne aggiunge una simile dall'altro: le due quasi si compensano.

La tabella sopra, arrotondata a quattro cifre decimali, mostra l'andamento per x² su [0, 2]. A ogni raddoppio di n, gli errori agli estremi si dimezzano circa, mentre l'errore dei punti medi scende a circa un quarto: 0.042, 0.010, 0.0026, 0.00065. Tutte e tre le colonne tendono allo stesso numero, 2.6666…; l'integrale definito della prossima unità è proprio questo limite comune.

C'è un legame immediato fra le tre somme. La media delle somme sinistra e destra, (L_n + R_n)/2, è la regola dei trapezi, che sostituisce ogni rettangolo con un trapezio congiungendo i due estremi della curva. Per x² su [0, 2] con n = 4 dà (1.75 + 3.75)/2 = 2.75, una sovrastima di circa 0.083: circa il doppio dell'errore dei punti medi, ma di segno opposto. Questo comportamento, con i trapezi che sovrastimano una curva convessa verso l'alto e i rettangoli dei punti medi che la sottostimano di circa la metà, vale per molte curve regolari ed è il punto di partenza della regola di Simpson nei corsi successivi.

I computer usano proprio queste somme. Quando una funzione non ha una primitiva comoda da trovare, o è nota solo attraverso misurazioni, un programma somma migliaia di rettangoli dei punti medi o di trapezi. Il laboratorio qui sotto limita n a 64 per lasciare visibili i rettangoli, ma l'andamento della tabella continua: ogni raddoppio rende l'errore dei punti medi circa quattro volte più piccolo.

Somme superiori e inferiori

Per ottenere una sovrastima garantita, scegli x_i* dove f è massima in ciascun sottointervallo: ottieni una somma superiore. Scegliendo dove f è minima ottieni una somma inferiore, cioè una sottostima garantita. L'area esatta è sempre compresa fra le due. Per una funzione sempre crescente o sempre decrescente nell'intervallo, massimi e minimi si trovano agli estremi: le somme superiore e inferiore coincidono quindi con quelle destra e sinistra, in un ordine o nell'altro. La curva (x − 1)³ + 4 di OpenStax su [0, 2] è crescente, con L₄ = 7.5 e R₄ = 8.5; entrambe tendono a 8 quando n cresce.