L'integrale definito

L'integrale di 4 − x² da 0 a 3 è 3: i 16/3 sopra l'asse meno i 7/3 sotto di esso.

Il limite delle somme

L'integrale definito di f da a a b è il limite delle somme di Riemann quando il numero di sottointervalli cresce senza limite: ∫_a^b f(x) dx = lim_n→∞ Σ_i=1ⁿ f(x_i*)Δx, purché il limite esista e non dipenda dai punti campione scelti. Se esiste, f è integrabile su [a, b]. OpenStax osserva che ogni funzione continua su un intervallo chiuso è integrabile: per le funzioni di questo corso il limite esiste sempre.

La notazione richiama la figura. La S allungata, ∫, indica una somma ed è stata introdotta da Leibniz. I numeri a e b sono gli estremi di integrazione, f(x) è la funzione integranda e dx rappresenta l'ampiezza di un rettangolo infinitamente sottile e indica la variabile rispetto a cui si somma. La lettera x è una variabile muta: ∫₀² x² dx e ∫₀² t² dt sono lo stesso numero, 8/3.

Area netta con segno

Se f scende sotto l'asse x, i rettangoli hanno altezza negativa e quindi si sottraggono. L'integrale misura l'area netta con segno: area sopra l'asse meno area sotto. Per f(x) = 4 − x² su [0, 3], la curva è sopra l'asse su [0, 2], con area 16/3, e sotto su [2, 3], con area 7/3. Quindi ∫₀³ (4 − x²) dx = 16/3 − 7/3 = 3. Per ottenere l'area totale indipendentemente dal segno, integra invece |f|: qui dà 16/3 + 7/3 = 23/3. La scelta dipende dalla domanda: cerchi una variazione netta o una quantità di vernice?

L'area con segno spiega anche una simmetria utile. Se f è dispari, cioè f(−x) = −f(x), come x³ o sin x, l'area a sinistra dell'asse y è l'immagine speculare di quella a destra, ribaltata sotto l'asse: dunque ∫_−a^a f(x) dx = 0. Per una funzione pari come x², le due metà sono uguali e l'integrale su [−a, a] è il doppio di quello su [0, a]. Riconoscere prima la simmetria può evitare un intero calcolo.

Proprietà e geometria

Dalla definizione seguono alcune proprietà. L'integrale su un solo punto è zero: ∫_a^a f dx = 0. Scambiare gli estremi cambia il segno: ∫_b^a f dx = −∫_a^b f dx. Gli integrali su intervalli adiacenti si sommano: ∫_a^b + ∫_b^c = ∫_a^c. Le costanti si possono portare fuori e l'integrale di una somma è la somma degli integrali. Se la regione ha una forma nota, la geometria dà subito la risposta: ∫₀³ 2x dx è un triangolo di base 3 e altezza 6, area 9; ∫₀⁴ 3 dx è un rettangolo 4 per 3, area 12; ∫₋₁¹ √(1 − x²) dx è mezzo disco unitario, area π/2.