A integral definida

A integral de 4 − x² de 0 a 3 é 3: os 16/3 acima do eixo menos os 7/3 abaixo dele.

O limite das somas

A integral definida de f de a a b é o limite das somas de Riemann quando o número de partes cresce sem limite: ∫_a^b f(x) dx = lim_n→∞ Σ_i=1ⁿ f(x_i*)Δx, desde que o limite exista e não dependa dos pontos de amostragem escolhidos. Quando ele existe, f é integrável em [a, b]. O OpenStax observa que toda função contínua em um intervalo fechado é integrável, então o limite sempre existe para as funções deste curso.

A notação guarda a imagem. O S alongado, ∫, foi introduzido por Leibniz para representar uma soma. Os números a e b são os limites de integração, f(x) é o integrando, e dx representa a largura de um retângulo que se torna infinitamente estreito e indica a variável de integração. A letra x é uma variável muda: ∫₀² x² dx e ∫₀² t² dt são o mesmo número, 8/3.

Área líquida com sinal

Se f fica abaixo do eixo x, os retângulos ali têm alturas negativas e são subtraídos. A integral mede a área líquida com sinal: área acima do eixo menos área abaixo. Para f(x) = 4 − x² em [0, 3], a curva fica acima do eixo em [0, 2], com área 16/3, e abaixo em [2, 3], com área 7/3. Assim, ∫₀³ (4 − x²) dx = 16/3 − 7/3 = 3. Para obter a área total sem considerar o sinal, integre |f|, que aqui dá 16/3 + 7/3 = 23/3. A escolha depende da pergunta: uma variação líquida ou uma quantidade de tinta.

4 − x² em [0, 3] com 12 retângulos pelo ponto médio. Os que ficam abaixo do eixo contam como negativos; o saldo é 16/3 − 7/3 = 3.

A área com sinal também explica uma simetria útil. Se f é ímpar, isto é, f(−x) = −f(x), como x³ ou sin x, a área à esquerda do eixo y espelha a da direita com o sinal trocado, então ∫_−a^a f(x) dx = 0. Para uma função par como x², as duas metades são iguais, e a integral em [−a, a] é o dobro da integral em [0, a]. Reconhecer a simetria pode poupar todo um cálculo.

Regras e geometria

Algumas propriedades vêm da definição. A integral em um único ponto é zero: ∫_a^a f dx = 0. Trocar os limites muda o sinal: ∫_b^a f dx = −∫_a^b f dx. Integrais em intervalos vizinhos se somam: ∫_a^b + ∫_b^c = ∫_a^c. Constantes podem ser colocadas em evidência, e a integral de uma soma é a soma das integrais. Quando a região tem uma forma conhecida, a geometria dá a resposta: ∫₀³ 2x dx é um triângulo de base 3 e altura 6, com área 9; ∫₀⁴ 3 dx é um retângulo de 4 por 3, com área 12; e ∫₋₁¹ √(1 − x²) dx é metade de um disco unitário, com área π/2.

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4 − x² de 0 a b. Retângulos abaixo do eixo ficam vermelhos e contam como negativos. Mova b de 2 para 3 e veja a integral exata cair de 16/3 para 3.

∫₀³ 2x dx (use um triângulo)?
∫₀⁴ 3 dx = ?
∫₋₁¹ √(1 − x²) dx com 4 casas decimais?
∫₅⁵ x³ dx = ?
∫₀² f dx = 5. Quanto vale ∫₂⁰ f dx?
∫₀² f dx = 5 e ∫₂⁵ f dx = −1. ∫₀⁵ f dx = ?
Mesma f: ∫₀² 3f(x) dx = ?
∫₀³ (4 − x²) dx = ?
A área total (sem sinal) entre 4 − x² e o eixo em [0, 3] é:
- 23/3
- 3
- 16/3
- 7/3
Quais funções têm integrabilidade garantida em [a, b]?
- as contínuas
- somente os polinômios
- somente as positivas
- somente as crescentes

Pontos-chave

∫_a^b f(x) dx = lim_n→∞ Σ f(x_i*)Δx.
É a área líquida com sinal: acima do eixo menos abaixo.
∫_a^a = 0; trocar limites inverte o sinal; intervalos vizinhos se somam.
Figuras conhecidas podem ser integradas pela geometria.

Fontes deste curso (6)

OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 5 Integration: 5.1 Approximating Areas (Archimedes and the method of exhaustion; sigma notation with Σ 3^i for i = 1 to 5 = 363; left and right endpoint approximations L4 = 1.75 and R4 = 3.75 for x² on [0, 2], L6 = 3.4375 and R6 = 5.6875 for x²/2 on [0, 3]; (x − 1)³ + 4 on [0, 2] approaching 8; Riemann sums named for the 19th-century mathematician Bernhard Riemann; upper and lower sums: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-1-approximating-areas)
5.2 The Definite Integral (limit of Riemann sums, integrability of continuous functions, net signed area, properties: .../pages/5-2-the-definite-integral)
5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (Newton and Leibniz, among others, late 1600s and early 1700s; mean value theorem for integrals; parts 1 and 2: .../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus)
5.4 Integration Formulas and the Net Change Theorem (.../pages/5-4-integration-formulas-and-the-net-change-theorem)
4.10 Antiderivatives (.../pages/4-10-antiderivatives)
MacTutor, University of St Andrews: Archimedes (287 BC to 212 BC; area of a parabolic segment; π bounded with 96-sided inscribed and circumscribed polygons: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes) and Leibniz (first used the ∫ f(x) dx notation in a manuscript of 21 November 1675: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Leibniz).

Data de verificação: 2026-10-17