O Teorema Fundamental do Cálculo

Trinta e dois retângulos pelo ponto médio sob x² de 0 a 2 ainda erram por 0.0007. A primitiva x³/3 dá o valor exato 8/3 em uma subtração: 8/3 − 0.

Duas ideias, um teorema

Até aqui, derivadas e integrais pareciam assuntos separados: um sobre inclinações, o outro sobre áreas. O Teorema Fundamental do Cálculo diz que são processos inversos. O OpenStax descreve essa relação como descoberta e estudada por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz, entre outros, no fim dos anos 1600 e início dos anos 1700. O teorema tem duas partes, e a segunda facilita o cálculo de integrais.

Primitivas

Uma primitiva de f é uma função F cuja derivada é f. Como d/dx x³/3 = x², a função x³/3 é uma primitiva de x². Também são x³/3 + 7 ou x³/3 menos qualquer constante, pois constantes têm derivada zero. A primitiva geral se escreve ∫ f(x) dx = F(x) + C, uma integral indefinida, com C representando qualquer constante. Ler as regras de derivação ao contrário fornece uma pequena tabela: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C para n ≠ −1, ∫ 1/x dx = ln|x| + C, ∫ sin x dx = −cos x + C, ∫ cos x dx = sin x + C, ∫ e^x dx = e^x + C.

Parte 2: calculando integrais

Se f é contínua em [a, b] e F é qualquer primitiva de f, então ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a). A diferença costuma ser escrita [F(x)]_a^b. Para ∫₀² x² dx, tome F(x) = x³/3: F(2) − F(0) = 8/3 − 0 = 8/3, o valor para o qual os retângulos tendiam. A constante C não importa, pois se cancela na subtração. Outros exemplos: ∫₁³ 2x dx = 9 − 1 = 8; ∫₀^π sin x dx = (−cos π) − (−cos 0) = 1 + 1 = 2; ∫₁⁴ √x dx = (2/3)(8 − 1) = 14/3.

Compare o esforço. O laboratório abaixo precisa de 64 retângulos para que a soma pelo ponto médio fique a poucos décimos de milésimo de 8/3, sem nunca chegar ao valor exato. O teorema fornece o valor exato calculando x³/3 em dois pontos. Trocar uma soma interminável de retângulos pela busca de uma única primitiva é o que justifica o nome fundamental.

Parte 1: a função área

A parte 1 explica por que aparecem primitivas. Defina a função área A(x) = ∫_a^x f(t) dt, a área entre um início fixo a e uma extremidade móvel x. O teorema afirma A′(x) = f(x). Imagine: quando x avança um pouco, por h, a área cresce uma faixa estreita de largura h e altura aproximadamente f(x), então (A(x + h) − A(x))/h é aproximadamente f(x), exatamente no limite. A taxa de crescimento da área é a altura da curva na borda móvel. Portanto, a função área é uma primitiva, e a parte 2 decorre disso.