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微積分の基本定理

x² の0から2までを中点の長方形32個で近似しても、誤差は0.0007あります。原始関数 x³/3 を使えば、8/3 − 0 という1回の引き算で厳密な8/3が得られます。

2つの考え方を結ぶ定理

これまで微分は傾き、積分は面積という別々の話に見えました。微積分の基本定理は、両者が互いに逆の操作であることを述べます。OpenStaxでは、1600年代後半から1700年代前半にニュートンやライプニッツらがこの関係を発見し、研究したと説明しています。定理は2つの部分からなり、第2部が積分の計算を簡単にします。

原始関数

微分すると f になる関数 F を、f の原始関数といいます。d/dx x³/3 = x² なので、x³/3 は x² の原始関数です。定数の微分は0なので、x³/3 + 7 や、任意の定数を引いたものも原始関数です。一般形は不定積分 ∫ f(x) dx = F(x) + C と書き、C は任意の定数です。微分の公式を逆に読むと、n ≠ −1 では ∫ xn dx = xn+1/(n + 1) + C、また ∫ 1/x dx = ln|x| + C、∫ sin x dx = −cos x + C、∫ cos x dx = sin x + C、∫ ex dx = ex + C です。

第2部：定積分の計算

f が [a, b] で連続で、F がその原始関数なら、∫ab f(x) dx = F(b) − F(a) です。この差を [F(x)]ab とも書きます。∫02 x² dx では F(x) = x³/3 とすると、F(2) − F(0) = 8/3 − 0 = 8/3 となり、長方形で近づいていた値が得られます。定数 C は引き算で消えます。ほかにも ∫13 2x dx = 9 − 1 = 8、∫0π sin x dx = (−cos π) − (−cos 0) = 1 + 1 = 2、∫14 √x dx = (2/3)(8 − 1) = 14/3 です。

y = sin x の0から π までの山の面積は、ちょうど2です。中点の長方形8個では約2.013になります。

手間を比べましょう。下のラボでは長方形64個を使っても、中点の和は8/3と数万分の数だけずれ、厳密には一致しません。定理なら x³/3 の値を2か所で求めるだけです。無数の長方形を足す代わりに原始関数を1つ見つければよいことが、この定理を「基本」と呼ぶ理由です。

第1部：面積を表す関数

第1部は、原始関数が現れる理由を説明します。固定した始点 a から動く終点 x までの面積を A(x) = ∫ax f(t) dt と定めると、A′(x) = f(x) です。x が h だけ動くと、幅 h、高さがおよそ f(x) の帯だけ面積が増えるので、(A(x + h) − A(x))/h は f(x) に近く、極限では一致します。面積の増加率は、動く端での曲線の高さです。面積の関数が原始関数になるため、第2部が導かれます。

原始関数は微分して確認しましょう。F の d/dx が被積分関数と一致しなければ、定積分の答えも違います。例えば (2/3)x3/2 を微分すると x1/2 = √x になるので、√x の正しい原始関数です。
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x² の [0, 2] です。n をいくら増やしても、和は原始関数 x³/3 からパネルが求めた F(2) − F(0) = 8/3 に近づきます。
  1. ∫13 2x dx = ?
  2. ∫0π sin x dx = ?
  3. ∫14 √x dx を小数第4位まで答えてください。
  4. ∫01 (3x² + 2x) dx = ?
  5. ∫01 ex dx を小数第4位まで答えてください。
  6. ∫1e (1/x) dx = ?
  7. x⁴ の原始関数はどれですか？
    • x⁵/5
    • 4x³
    • x⁵
    • 5x⁴
  8. A(x) = ∫0x t² dt のとき、A′(3) はいくつですか？
  9. ∫ab の計算で +C を省けるのはなぜですか？
    • F(b) − F(a) で打ち消されるからです
    • C は常に0だからです
    • 定積分には原始関数がないからです
    • C は正弦だけに使うからです
  10. OpenStaxでは、微分と積分の関係を研究した人物として誰を挙げていますか？
    • 1600年代後半から1700年代前半のニュートンやライプニッツら
    • アルキメデスだけ
    • 1800年代のリーマン
    • 1637年のデカルト
ポイント
  • 原始関数は F′ = f を満たします。不定積分は ∫ f dx = F + C です。
  • 微積分の基本定理・第2部：∫ab f dx = F(b) − F(a)。
  • 微積分の基本定理・第1部：d/dx ∫ax f(t) dt = f(x)。
  • 微分と積分は互いに逆の操作です。
このコースの出典 (6)
  • OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 5 Integration: 5.1 Approximating Areas (Archimedes and the method of exhaustion; sigma notation with Σ 3^i for i = 1 to 5 = 363; left and right endpoint approximations L4 = 1.75 and R4 = 3.75 for x² on [0, 2], L6 = 3.4375 and R6 = 5.6875 for x²/2 on [0, 3]; (x − 1)³ + 4 on [0, 2] approaching 8; Riemann sums named for the 19th-century mathematician Bernhard Riemann; upper and lower sums: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-1-approximating-areas)
  • 5.2 The Definite Integral (limit of Riemann sums, integrability of continuous functions, net signed area, properties: .../pages/5-2-the-definite-integral)
  • 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (Newton and Leibniz, among others, late 1600s and early 1700s; mean value theorem for integrals; parts 1 and 2: .../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus)
  • 5.4 Integration Formulas and the Net Change Theorem (.../pages/5-4-integration-formulas-and-the-net-change-theorem)
  • 4.10 Antiderivatives (.../pages/4-10-antiderivatives)
  • MacTutor, University of St Andrews: Archimedes (287 BC to 212 BC; area of a parabolic segment; π bounded with 96-sided inscribed and circumscribed polygons: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes) and Leibniz (first used the ∫ f(x) dx notation in a manuscript of 21 November 1675: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Leibniz).

確認日: 2026-10-17