Teorema Dasar Kalkulus

Tiga puluh dua persegi panjang titik tengah di bawah x² dari 0 sampai 2 masih berselisih 0.0007. Antiturunan x³/3 memberikan nilai eksak 8/3 dengan satu pengurangan: 8/3 − 0.

Dua gagasan, satu teorema

Sejauh ini, turunan dan integral tampak sebagai dua topik terpisah: yang satu tentang kemiringan, yang lain tentang luas. Teorema Dasar Kalkulus menyatakan bahwa keduanya merupakan proses yang saling membalikkan. OpenStax menjelaskan bahwa hubungan ini ditemukan dan dikembangkan antara lain oleh Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz pada akhir 1600-an dan awal 1700-an. Teoremanya terdiri atas dua bagian; bagian kedua membuat integral mudah dihitung.

Antiturunan

Antiturunan f adalah fungsi F yang turunannya f. Karena d/dx x³/3 = x², fungsi x³/3 adalah antiturunan x². Begitu pula x³/3 + 7, atau x³/3 dikurangi sembarang konstanta, karena turunan konstanta adalah nol. Antiturunan umum ditulis ∫ f(x) dx = F(x) + C, yaitu integral tak tentu, dengan C mewakili sembarang konstanta. Membaca aturan turunan secara terbalik menghasilkan tabel singkat: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C untuk n ≠ −1, ∫ 1/x dx = ln|x| + C, ∫ sin x dx = −cos x + C, ∫ cos x dx = sin x + C, ∫ e^x dx = e^x + C.

Bagian 2: menghitung integral

Jika f kontinu pada [a, b] dan F adalah sembarang antiturunan f, maka ∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a). Selisih ini sering ditulis [F(x)]_a^b. Untuk ∫₀² x² dx, ambil F(x) = x³/3: F(2) − F(0) = 8/3 − 0 = 8/3, nilai yang didekati persegi panjang tadi. Konstanta C tidak berpengaruh karena saling menghapus saat dikurangkan. Contoh lain: ∫₁³ 2x dx = 9 − 1 = 8; ∫₀^π sin x dx = (−cos π) − (−cos 0) = 1 + 1 = 2; ∫₁⁴ √x dx = (2/3)(8 − 1) = 14/3.

Bandingkan upayanya. Lab di bawah memerlukan 64 persegi panjang agar jumlah titik tengah berselisih hanya beberapa persepuluh ribu dari 8/3, dan hasilnya tetap tidak pernah tepat. Teorema memberikan nilai eksak dengan dua perhitungan x³/3. Mengganti penjumlahan persegi panjang tanpa akhir dengan pencarian satu antiturunan inilah alasan teorema ini disebut dasar.

Bagian 1: fungsi luas

Bagian 1 menjelaskan kemunculan antiturunan. Definisikan fungsi luas A(x) = ∫_a^x f(t) dt, yaitu luas dari titik awal tetap a sampai ujung bergerak x. Teorema menyatakan A′(x) = f(x). Bayangkan: ketika x bergeser sedikit sebesar h, luas bertambah dengan jalur tipis selebar h dan setinggi kira-kira f(x), sehingga (A(x + h) − A(x))/h mendekati f(x), dan tepat sama dalam limit. Laju pertambahan luas adalah tinggi kurva pada tepi yang bergerak. Jadi fungsi luas merupakan antiturunan, dan Bagian 2 mengikuti hasil ini.