edubun
Bahasa Indonesia
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoРусскийBahasa Indonesia日本語
Beranda›Kalkulus›Integral

Perubahan bersih dan nilai rata-rata

Kereta kecil berkecepatan t² − 4t + 3 menempuh total 4 meter selama empat detik, tetapi posisi akhirnya hanya 4/3 meter dari titik awal.

Mengintegralkan laju

Bacalah Teorema Dasar dari arah sebaliknya. Jika F adalah suatu besaran dan F′ adalah laju perubahannya, maka ∫ab F′(x) dx = F(b) − F(a). OpenStax menyebutnya teorema perubahan bersih: mengintegralkan laju perubahan menghasilkan perubahan total. Setara dengan itu, F(b) = F(a) + ∫ab F′(x) dx, nilai baru sama dengan nilai lama ditambah perubahan yang terakumulasi. Jika air mengalir ke tangki dengan laju tetap 5 liter per menit selama 12 menit, integralnya 5 × 12 = 60 liter; jika lajunya berubah, integral yang menjumlahkannya untukmu.

Perpindahan dan jarak

Dalam gerak, laju itu adalah kecepatan. ∫ab v(t) dt merupakan perpindahan, yaitu perubahan posisi, dengan gerak mundur dihitung negatif. Jarak tempuh adalah ∫ab |v(t)| dt, yang menghitung setiap meter. Ambil v(t) = t² − 4t + 3 = (t − 1)(t − 3) meter per detik pada [0, 4], dengan antiturunan t³/3 − 2t² + 3t. Perpindahannya 64/3 − 32 + 12 − 0 = 4/3 meter. Namun v negatif antara t = 1 dan t = 3, saat kereta bergerak mundur.

Pisahkan interval pada perubahan tanda. Dari 0 sampai 1, kereta maju 4/3 meter. Dari 1 sampai 3, integralnya −4/3, jadi kereta mundur 4/3 meter. Dari 3 sampai 4, kereta maju lagi 4/3 meter. Hasil bersih: 4/3 − 4/3 + 4/3 = 4/3. Jarak total: 4/3 + 4/3 + 4/3 = 4 meter. Jawabannya berbeda karena gerak mundur mengurangi gerak maju pada yang satu, tetapi menambahnya pada yang lain. Pertanyaan tentang posisi akhir meminta perpindahan; pertanyaan tentang bahan bakar, keausan, atau odometer perjalanan meminta jarak.

v(t) = t² − 4t + 3 pada [0, 4]. Tiga bagian berluas 4/3: perpindahan 4/3, jarak 4.

Pemisahan yang sama berlaku untuk setiap laju yang berubah tanda, seperti uang masuk dan keluar rekening atau air yang dipompa masuk dan keluar tangki.

Nilai rata-rata fungsi

Rata-rata n bilangan adalah jumlahnya dibagi n. Untuk fungsi pada [a, b], integral berperan sebagai jumlah dan panjang b − a sebagai n: favg = (1/(b − a)) ∫ab f(x) dx. Secara geometris, ini adalah tinggi persegi panjang pada [a, b] yang luasnya sama dengan daerah di bawah kurva. Untuk x² pada [0, 2], rata-ratanya (8/3)/2 = 4/3. Untuk sin x pada [0, π], nilainya 2/π ≈ 0.637. Teorema nilai rata-rata integral dalam OpenStax 5.3 menambahkan bahwa fungsi kontinu benar-benar mencapai nilai rata-ratanya pada suatu titik di interval tersebut.

Kereta di sini adalah contoh rekaan yang dipilih agar setiap bagian menghasilkan 4/3. Data kecepatan nyata berbentuk tabel pengukuran; jumlah Riemann dari hasil pengukuran itu lalu berperan sebagai integral.
Memuat

Seret untuk memutar. Gulir atau rapatkan dan renggangkan dua jari untuk mengatur zoom.

Kecepatan t² − 4t + 3 pada [0, 4]. Persegi panjang merah menunjukkan gerak mundur. Integral eksak, 4/3, adalah perpindahannya.
  1. Air masuk dengan laju 5 L/mnt selama 12 mnt. Berapa total liternya?
  2. v(t) = t² − 4t + 3 pada [0, 4]. Berapa perpindahannya dalam meter (3 angka desimal)?
  3. Gerak yang sama: berapa jarak tempuh total dalam meter?
  4. Kapan kereta tersebut bergerak mundur?
    • 1 < t < 3
    • 0 < t < 1
    • 3 < t < 4
    • tidak pernah
  5. Batu yang dijatuhkan memiliki v(t) = −32t. Berapa perpindahannya dari t = 0 sampai 2 (ft)?
  6. Nilai rata-rata x² pada [0, 2] (3 angka desimal)?
  7. Nilai rata-rata sin x pada [0, π] (3 angka desimal)?
  8. Tangki berisi 100 L. Air keluar dengan laju r(t) = 2t L/mnt selama 5 mnt. Berapa liter yang tersisa?
  9. Odometer perjalanan mengukur:
    • ∫ |v(t)| dt, jarak
    • ∫ v(t) dt, perpindahan
    • v(t) pada akhir perjalanan
    • kecepatan rata-rata
  10. favg pada [a, b] sama dengan:
    • (1/(b − a)) ∫ab f(x) dx
    • (f(a) + f(b))/2
    • ∫ab f(x) dx
    • f((a + b)/2)
Poin penting
  • Teorema perubahan bersih: ∫ab F′(x) dx = F(b) − F(a).
  • Perpindahan ∫ v dt dapat saling meniadakan; jarak ∫ |v| dt tidak.
  • Pisahkan pada perubahan tanda untuk mendapatkan jarak.
  • Nilai rata-rata: (1/(b − a)) ∫ab f(x) dx.
Sumber kursus ini (6)
  • OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 5 Integration: 5.1 Approximating Areas (Archimedes and the method of exhaustion; sigma notation with Σ 3^i for i = 1 to 5 = 363; left and right endpoint approximations L4 = 1.75 and R4 = 3.75 for x² on [0, 2], L6 = 3.4375 and R6 = 5.6875 for x²/2 on [0, 3]; (x − 1)³ + 4 on [0, 2] approaching 8; Riemann sums named for the 19th-century mathematician Bernhard Riemann; upper and lower sums: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-1-approximating-areas)
  • 5.2 The Definite Integral (limit of Riemann sums, integrability of continuous functions, net signed area, properties: .../pages/5-2-the-definite-integral)
  • 5.3 The Fundamental Theorem of Calculus (Newton and Leibniz, among others, late 1600s and early 1700s; mean value theorem for integrals; parts 1 and 2: .../pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus)
  • 5.4 Integration Formulas and the Net Change Theorem (.../pages/5-4-integration-formulas-and-the-net-change-theorem)
  • 4.10 Antiderivatives (.../pages/4-10-antiderivatives)
  • MacTutor, University of St Andrews: Archimedes (287 BC to 212 BC; area of a parabolic segment; π bounded with 96-sided inscribed and circumscribed polygons: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Archimedes) and Leibniz (first used the ∫ f(x) dx notation in a manuscript of 21 November 1675: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Leibniz).

Diperiksa: 2026-10-17