Cambio neto y valor promedio

Un carrito con velocidad t² − 4t + 3 recorre 4 metros en total durante cuatro segundos, pero termina a solo 4/3 de metro de donde empezó.

Integrar una tasa de cambio

Lee el teorema fundamental en sentido contrario. Si F es una cantidad y F′ su tasa de cambio, entonces ∫_a^b F′(x) dx = F(b) − F(a). OpenStax lo llama teorema del cambio neto: integrar una tasa de cambio da el cambio total. De forma equivalente, F(b) = F(a) + ∫_a^b F′(x) dx: el nuevo valor es el anterior más el cambio acumulado. Si entra agua en un tanque a un ritmo constante de 5 litros por minuto durante 12 minutos, la integral es 5 × 12 = 60 litros; si el ritmo varía, la integral se encarga de sumar.

Desplazamiento y distancia

En el movimiento, la tasa de cambio es la velocidad. ∫_a^b v(t) dt es el desplazamiento, es decir, el cambio de posición, que cuenta como negativo el movimiento hacia atrás. La distancia recorrida es ∫_a^b |v(t)| dt, que cuenta cada metro. Toma v(t) = t² − 4t + 3 = (t − 1)(t − 3) metros por segundo en [0, 4], con primitiva t³/3 − 2t² + 3t. El desplazamiento es 64/3 − 32 + 12 − 0 = 4/3 metros. Pero v es negativa entre t = 1 y t = 3, cuando el carrito retrocede.

Divide el intervalo donde cambia el signo. De 0 a 1, el carrito avanza 4/3 metros. De 1 a 3, la integral es −4/3, así que retrocede 4/3 metros. De 3 a 4 vuelve a avanzar 4/3 metros. Resultado neto: 4/3 − 4/3 + 4/3 = 4/3. Distancia total: 4/3 + 4/3 + 4/3 = 4 metros. Las respuestas difieren porque el movimiento hacia atrás resta al avance en un caso y se suma en el otro. Si preguntan dónde termina algo, buscan el desplazamiento; si preguntan por combustible, desgaste o un contador de recorrido, buscan la distancia.

La misma división sirve para cualquier tasa que cambie de signo, como el dinero que entra y sale de una cuenta o el agua que se bombea hacia dentro y hacia fuera de un tanque.

Valor promedio de una función

El promedio de n números es su suma dividida entre n. Para una función en [a, b], la integral hace el papel de la suma y la longitud b − a hace el de n: f_avg = (1/(b − a)) ∫_a^b f(x) dx. Geométricamente, es la altura del rectángulo sobre [a, b] cuya área coincide con la región bajo la curva. Para x² en [0, 2], el promedio es (8/3)/2 = 4/3. Para sin x en [0, π], es 2/π ≈ 0.637. El teorema del valor medio para integrales de OpenStax 5.3 añade que una función continua alcanza su valor promedio en algún punto del intervalo.