Integrales

Acerca de este curso

La segunda gran idea del cálculo es el área bajo una curva, construida con rectángulos delgados. El curso empieza con y = x² en [0, 2] y cuatro rectángulos a la izquierda. Como x² es creciente ahí, cada rectángulo izquierdo queda por debajo de la curva y cada rectángulo derecho sobresale por encima, así que L₄ subestima, R₄ sobrestima y el área verdadera está entre 1.75 y 3.75. En el laboratorio duplicas n varias veces y ves cómo ambas sumas se acercan a 8/3 ≈ 2.667.

Las cinco unidades son aproximar el área con rectángulos, sumas de Riemann y la regla del punto medio, la integral definida, el teorema fundamental del cálculo, y cambio neto y valor promedio. La notación sigma escribe las sumas largas de forma compacta. La unidad del punto medio muestra que cada vez que n se duplica los errores de los extremos se reducen más o menos a la mitad, mientras que el error del punto medio baja a cerca de la cuarta parte: 0.042, 0.010, 0.0026, 0.00065. La integral definida es el límite de esas sumas y mide el área neta con signo: para 4 − x² en [0, 3], los 16/3 por encima del eje menos los 7/3 por debajo dan 3. El teorema fundamental conecta entonces lo que parecían temas separados, las pendientes y las áreas, como procesos inversos. Un arco de y = sin x, de 0 a π, tiene un área exacta de 2, y ocho rectángulos de punto medio dan aproximadamente 2.013.

La última unidad lee el teorema como cambio neto. Para v(t) = t² − 4t + 3 en [0, 4], un carrito inventado, tres trozos de área 4/3 dan un desplazamiento de 4/3 pero una distancia recorrida de 4. Una piedra soltada tiene v(t) = −32t, así que el desplazamiento de t = 0 a 2 se halla integrando la razón de cambio. El curso también te dice que compruebes una antiderivada derivándola: (2/3)x^(3/2) se deriva en √x.