Límites
Cinco unidades sobre la idea que sostiene el cálculo. Empiezas con las dos preguntas que lo originaron, la pendiente de una curva y el área bajo ella; después estimas límites con tablas y gráficas, conoces los límites laterales e infinitos, calculas valores exactos con las leyes de los límites y terminas con la continuidad. Cada unidad incluye un laboratorio de cálculo donde acercas x a un punto o reduces la separación de una secante y observas cómo se estabilizan los números.
Antes de empezar
Los límites se calculan sobre funciones como (x² − 4)/(x − 2), así que necesitas la notación de funciones de Funciones y la factorización que se practica en Funciones cuadráticas. También aparecen pronto las raíces cuadradas y la pendiente de una recta. El laboratorio de cálculo se encarga de las tablas largas de decimales, de modo que puedas concentrarte en aquello a lo que se acercan los números.
Al terminar
Podrás explicar cómo las rectas secantes de y = x² se acercan a una tangente, estimar un límite a partir de una tabla en la que 3.999 y 4.001 se acercan a 4 y distinguir los límites laterales. Podrás hallar asíntotas verticales, convertir 0/0 en un 1/6 exacto con las leyes de los límites, aplicar el teorema del sándwich y mostrar que x³ − x − 1 cruza el cero entre 1 y 2.
- 1Las dos preguntas que originaron el cálculoEn la curva y = x², la recta que pasa por (1, 1) y (2, 4) tiene pendiente 3. Mueve el segundo punto a (1.5, 2.25) y la pendiente baja a 2.5.
- 2El límite de una funciónLa función (x² − 4)/(x − 2) no tiene valor en x = 2, pero en x = 1.999 da 3.999 y en 2.001 da 4.001.
- 3Límites laterales e infinitosJusto a la izquierda de 2, |x − 2|/(x − 2) siempre vale −1; justo a la derecha de 2, siempre vale 1. Los dos lados nunca coinciden.
- 4Las leyes de los límitesSustituye x = 9 en (√x − 3)/(x − 9) y obtienes 0/0. Multiplica numerador y denominador por √x + 3 y el límite resulta ser exactamente 1/6.
- 5Continuidadf(x) = x³ − x − 1 vale −1 en x = 1 y 5 en x = 2. Como no tiene interrupciones, debe pasar por cero en algún punto intermedio.
Fuentes de este curso (5)
- OpenStax, Calculus Volume 1 , chapter 2 Limits: 2.1 A Preview of Calculus (tangent problem and area problem; secant slopes through (1, 1) on f(x) = x² with (2, 4) giving 3 and (3/2, 9/4) giving 2.5; rock s(t) = −16t² + 64 with average velocities −15.84 and −16.16 near t = 0.5; three rectangles under x² + 1 on [0, 3] giving 8: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-1-a-preview-of-calculus)
- 2.2 The Limit of a Function ((x² − 4)/(x − 2) → 4 at 2, (sin x)/x → 1 at 0 from a table, sin(1/x) has no limit at 0, one-sided limits of |x − 2|/(x − 2), infinite limits and vertical asymptotes, the formal definition appearing only in the late 19th century: .../pages/2-2-the-limit-of-a-function)
- 2.3 The Limit Laws (sum, difference, constant multiple, product, quotient, power and root laws; direct substitution; factoring and rationalizing 0/0 forms; squeeze theorem: .../pages/2-3-the-limit-laws)
- 2.4 Continuity (three conditions; removable, jump and infinite discontinuities; Intermediate Value Theorem: .../pages/2-4-continuity)
- 2.5 The Precise Definition of a Limit (.../pages/2-5-the-precise-definition-of-a-limit).
Fecha de consulta: 2026-10-17