Continuidad

f(x) = x³ − x − 1 vale −1 en x = 1 y 5 en x = 2. Como no tiene interrupciones, debe pasar por cero en algún punto intermedio.

Tres condiciones

De manera informal, una función es continua si puedes dibujar su gráfica sin levantar el lápiz. La imagen ayuda, pero el cálculo necesita algo comprobable. OpenStax da tres condiciones para que f sea continua en un punto a. Primera: f(a) está definida. Segunda: existe lim_x→a f(x). Tercera: ambos son iguales, lim_x→a f(x) = f(a). Si falla alguna, f es discontinua en a. Una función es continua en un intervalo si lo es en todos sus puntos.

Compruébalas en orden y detente en el primer fallo. Para (x² − 4)/(x − 2) en 2, falla la primera porque f(2) no está definida. Para la función que vale x + 2 salvo f(2) = 1, las dos primeras se cumplen (f(2) = 1, límite 4), pero la tercera falla. Para x² en 1, se cumplen las tres: f(1) = 1, el límite es 1 y coinciden. Los polinomios son continuos en todas partes, y las funciones racionales donde sus denominadores no se anulan; se deduce directamente de las leyes de los límites.

Tipos de discontinuidad

Hay tres tipos de discontinuidad, correspondientes a tres comportamientos del límite. Una discontinuidad evitable tiene límite, pero la función no está definida allí o tiene un valor incorrecto. Basta cambiar un punto: redefinir f(a) como el límite. En una discontinuidad de salto existen ambos límites laterales, pero son números distintos y la gráfica salta hacia arriba o abajo. Una discontinuidad infinita tiene al menos un límite lateral igual a ±∞, lo que indica una asíntota vertical. Las funciones racionales muestran el primer y el tercer tipo; las funciones a trozos suelen presentar saltos.

Las funciones a trozos plantean un ejercicio frecuente: elegir una constante para unir las partes. Supón que f(x) = x + k para x < 1 y f(x) = 2x² para x ≥ 1. La parte derecha da f(1) = 2 y límite derecho 2. El límite izquierdo es 1 + k. Para tener continuidad en 1 deben coincidir, así que 1 + k = 2 y k = 1. Cualquier otro k deja un salto en x = 1.

El teorema del valor intermedio

La continuidad tiene una consecuencia potente. El teorema del valor intermedio dice: si f es continua en un intervalo cerrado [a, b] y z es cualquier número entre f(a) y f(b), entonces existe al menos un c en [a, b] con f(c) = z. Una función continua no puede saltarse valores. Toma f(x) = x³ − x − 1: f(1) = −1 y f(2) = 5, así que f toma el valor 0 en algún punto entre 1 y 2. El teorema asegura que existe una raíz sin decir dónde. Dividir repetidamente el intervalo por la mitad permite encontrarla: f(1.5) = 0.875 > 0, por lo que está en [1, 1.5]; f(1.25) ≈ −0.297 < 0, así que está en [1.25, 1.5], etc. La raíz es aproximadamente 1.3247.